Modelo de GCP usado

En este trabajo se usa en cada celda un oscilador de Rösler (ver ec. 6) acoplado por el método de control de Pyragas[14] con condiciones elegidas al azar para cada ensayo.

Dicho oscilador caótico es el único que ha mostrado evidencia de mantener un andar primario, en cambio tanto el oscilador de Van der Pool[7], como el de Showalter[15], si bien bajo ciertas condiciones simula el envío de pulsos nerviosos, bajo el método de sincronización usado no muestra igualdad de forma de onda en las señales de salida. Este no es un detalle menor pues simplifica mucho el diseño electrónico cuando la forma de onda de cada oscilador simula un andar primario. Esta condición, igualdad de formas de onda de salida, es importante en el comando digital de extremidades mecánicas[16].

$$\left \{ \begin{array}{rcl} \frac{d x}{d t} & = & -(y+x)\\ \frac... ...x+ 0.2 \, y\\ \frac{d z}{d t} & = & 0.2 \, + \, z \, (x-c) \end{array} \right.$$ (6)

Utilizando un mecanismo de sincronización directa[17], la variable maestra es $y$ y las variables esclavas son $x, z$. Se utiliza una serie temporal de índice limitado para obtener el valor de la realimentación desfasada. En consecuencia de esto la función de acoplamiento es de la forma:

$$\begin{array}{ll} h_i(X_i,X_{i+1},X_{i-1})= k_i \, (y_{i-1}(t... ...)-y_i(t)) & \\ + g_i \, (y_{i+1}(t-\tau)-y_i(t)) & \end{array}$$ (7)

donde $g_i$ y $k_i$ son constantes. Las condiciones de simetría asociadas a la red Tipo-2 limitan el rango de valores que deben tener las constantes $k_i$ y $g_i$, en este caso se debe cumplir $g_1=k_2$, $g_2=k_3$, $g_3=k_4$, $g_4=k_1$, $k_1=k_2$ y $k_4=k_3$. El valor del retardo $\tau \in \mathbb{N}$ y la constante $c$ del oscilador de Rösler (ver ec. 6), juegan un rol importante en los patrones de las funciones de onda obtenidas.

Se toma como salida de cada oscilador al valor de la variable $x_i(t)$, afectado por la función umbral

$$Q(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0 & \textrm{si $x>2.0$} \\ 1 & \textrm{si $x \le 2.0$} \end{array} \right.$$ (8)

Esto define una aplicación del espacio de las fases al espacio de las matrices binarias de dimensión 2x2. Por conveniencia al valor 1 se le asocia al estado extremidad apoyada en cambio al estado 0 se le asocia el estado extremidad en movimiento no apoyada. Finalmente la representación matricial del GCP es de ahora en más

$$\mathbf{C}= \left( \begin{array}{cc} \textrm{Delantera Izquierda}... ...\\ \textrm{Trasera Izquierda} & \textrm{Trasera Derecha} \end{array} \right)$$

Luego el andar no es más que una concatenación de representaciones matriciales del GCP locomotor. Por ejemplo la siguiente secuencia periódica corresponde al pronk

$$\left\{ \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \r... ... ; \, \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \right\}$$

Esto permite visualizar mejor las simetrías del andar primario, aunque se pierde noción de los intervalos de tiempos entre patrones. Esto último es de suma importancia para una aplicación en robótica pues no sólo condiciona la respuesta de los actuadores, sino que la inercia de los sistemas mecánicos pueden producir inestabilidades indeseadas en el andar. Por eso además del análisis de patrones se evaluó el tiempo de cada patrón en la secuencia periódica, pero a diferencia de lo que ocurre cuando en cada celda hay un oscilador armónico en nuestro caso, por ser cada oscilador caótico, el intervalo de tiempo es una variable aleatoria con media y varianza calculable. Una herramienta nueva para evaluar el intervalo de tiempo en el andar humano es el Detrended Fluctuation Analysis (DFA)[18,19,20]. Que permite caracterizar procesos estocásticos en apariencia similares.

De ahora en más se usará los siguientes modelos ad hoc que se llamarán: SA a la condición $k_1=k_3=0.1$ y $k_2=k_4=0.001$; y SB a $k_1=k_3=0.1$ y $k_2=k_4=-0.001$. Una de las razones para la elección de estos valor es, la presunción que existe una fuerte coordinación de extremidades asociadas a cada hemisferio, en cambio existe una pobre correlación entre extremidades asociadas a hemisferios cerebrales diferentes. La otra es, que en los valores propuestos los resultados obtenidos en las simulaciones, son en una gran proporción coincidentes a los hechos empíricos