Matemática Aplicada 2

Licenciatura en Física - Universidad Nacional de Rosario, Argentina

 
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La asignatura Matemática Aplicada II (F-321) se dicta en el segundo cuatrimestre del tercer año de la licenciatura en física. Se desarrollan temas matemáticos que se utilizan en las asignaturas del ciclo superior de física: Mecánica Cuántica I, Mecánica Estadística I y Materia Condensada.


Horarios 2018
  • Martes 09:00 a 12:00 Hrs en el aula 32

  • Jueves 13:00 a 16:00 Hrs en el aula del reactor


Docentes

  • María Eugenia Torio
    E-mail:mariutorio(at)gmail.com
    TE: 485-3222 interno 331
  • Luis Manuel
    E-mail:manuelluisoscar(at)gmail.com
    TE: 485-3222 interno 414
  • Rodolfo Id Betan
    E-mail:idbetan(at)gmail.com
    TE: 485-3222 interno 486
  • Matías Gonzalez
    E-mail:gonzalez(at)ifir-conicet.gov.ar
    TE: 485-3222 interno 507
  • Lucía Cabrera
    E-mail:lucia.mcabrera(at)gmail.com

Contenidos temáticos

Este es el plan analítico vigente de la materia

    1) Teoría de la potencia. Potencia. Conjuntos infinito numerables. Ejemplos. Potencia de los reales. Conjunto potencia. Hipótesis del continuo.

    2) Teoría de distribuciones. Motivación física. Soporte de una función. Espacio D de funciones de prueba. Convergencia en D. Funcionales lineales y continuos en D. Espacio de distribuciones. Funciones localmente sumables. Distribuciones regulares. Distribuciones singulares. Delta de Dirac. Derivada de una distribución. Ejemplos de derivadas distribucionales. Distribuciones valor principal y parte finita. Operaciones sobre distribuciones: suma, multiplicación por una función suave, división por potencias de x, cambio de variables. Convergencia de distribuciones. Continuidad de la derivación. Aplicaciones a series divergentes. Suma de Poisson. Núcleos singulares de la delta de Dirac. Ejemplos.

    3) Transformada de Fourier. Motivación física. Definición integral de la transformada de Fourier. Ejemplos. Propiedades de la transformada: continuidad, acotación, paridad, cambio de variables. Derivada de la transformada de Fourier. Transformada de Fourier de la derivada. Antitransformada. Extensión de la transformada de Fourier a distribuciones. Espacio de funciones de Schwartz. Distribuciones temperadas. Propiedades de la transformada de Fourier de distribuciones. Producto de convolución y su transformada de Fourier. Transformada de Fourier de varias variables.

    4) Funciones de Green. Primitiva de una distribución. Soluciones fundamentales de ecuaciones diferenciales lineales. Funciones de Green. Aplicaciones. Función de Green del laplaciano. Función de Green de la ecuación de ondas.

    5) Espacios metricos. Definición de métrica. Ejemplos: métrica discreta, Rn con métrica euclídea, Rn con métrica dp, sucesiones l2, lp, espacio de Chebyshev, Lp. Bosquejo de la integral de Lebesgue y propiedades casi todo punto. Entorno abierto, entorno cerrado, punto de acumulación, punto interior, punto aislado, clausura de un conjunto, conjuntos cerrados y abiertos, conjuntos densos y espacios separables. Ejemplos. Separabilidad de l2 e inseparabilidad de l_infinito. Separabilidad del espacio de Chebyshev y de los espacios Lp. Sucesión convergente y límite. Sucesión de Cauchy. Espacios completos. Ejemplos. Funciones continuas. Continuidad secuencial. Métricas equivalentes. Distintos criterios de convergencia en espacios funcionales: puntual, uniforme y en media. Teorema de la contracción. Ejemplo de solución de ecuación integral de Fredholm de segunda especie.

    6) Espacios normados. Repaso de espacios vectoriales. Norma. Métrica derivada de la norma. Espacios de Banach. Ejemplos. Subespacios vectoriales no cerrados. Series en espacios de Banach. Operadores lineales. Operadores acotados. Norma de un operador. Definiciones equivalentes. Ejemplos. Continuidad y acotación de operadores lineales. Espacio de operadores acotados. Álgebra de operadores, serie de operadores. Ejemplos: exponencial y serie geométrica. Conjuntos compactos, operadores compactos.

    7) Espacios de Hilbert. Espacios con producto interno. Ejemplos. Desigualdad de Cauchy-Schwartz, Teorema de Pitágoras, norma derivada del producto interno. Teorema de Jordan-von Neumann y regla del paralelogramo. Conjuntos ortogonales. Teorema de Gram Schmidt. Ejemplos de familias de funciones ortogonales: polinomios de Legendre y Chebyshev, funciones de Laguerre y Hermite. Definición de base ortogonal numerable. Espacio de Hilbert. Desarrollo de Fourier generalizado. Mejor aproximación. Bases de conjuntos densos. Separabilidad y existencia de base ortogonal numerable. Desigualdad de Bessel. Identidad de Parseval. Teorema de Riesz-Fisher. Isomorfismo entre espacios de Hilbert. Isometría. Sistema ortonormal completo. Ejemplos. Complemento ortogonal. Descomposición ortogonal. Suma directa de un subespacio cerrado y su complemento ortogonal. Funcionales lineales y acotados. Espacio dual. Teorema de representación de Riesz.

    8) Operadores en espacios de Hilbert. Operador adjunto de un operador acotado. Propiedades de los operadores adjuntos. Ejemplos. Elementos de matriz y valor medio. Operadores autoadjuntos o hermíticos. Operador adjunto de un operador no acotado. Norma de un operador hermítico. Proyectores. Propiedades. Operadores unitarios, antihermíticos, normales e isometrías. Principio de incerteza.

    9) Teoría espectral de operadores en espacios de Hilbert. Autovalores y autovectores. Ejemplo de un operador integral. Autovalores reales y ortogonalidad de autovectores de operadores hermíticos. Teorema espectral para operadores hermíticos compactos. Teorema de los operadores hermíticos compactos que conmutan. Proyectores ortogonales y resolución de la identidad. Operadores desarrollables con proyectores. Definición de resolvente de un operador. Espectros puntual, continuo y residual. Ejemplo de espectros continuos: operadores posición y momento lineal.

    10) Introducción al formalismo matemático de la mecánica cuántica. Espacio de funciones de onda de una partícula. Bases discretas y continuas. Base de ondas planas. Base de deltas de Dirac. Notación de Dirac: estados, funcionales, operadores, proyectores. Conjugación. Representación en el espacio de estados.


Apuntes de la materia

  1. Teoría de conjuntos: Potencia  [pdf]
  2. Teoría de la medida e integral de Lebesgue [pdf]
  3. Espacios métricos [ pdf]
  4. Espacios de Banach [ pdf]

Trabajos Prácticos

  1. Distribuciones [pdf]
  2. Transformada de Fourier [pdf]
  3. Funciones de Green [pdf]
  4. Espacios métricos [pdf]
  5. Espacios normados - Operadores lineales [pdf]
  6. Espacios de Hilbert y funcionales lineales [pdf]
  7. Operadores en espacios de Hilbert [pdf]
  8. Teoría espectral de operadores [pdf]
Para aplicación de la teoría de espacios de Hilbert a la mecánica cuántica hacemos problemas del capítulo 2 del Cohen-Tannoudji.

Bibliografía

  1. D. H. Griffel
    "Applied functional analysis"
    Un libro muy recomendable. Empieza con distribuciones, transformada de Fourier y funciones de Green. En la materia damos la parte de operadores en espacios de Hilbert a través de este libro. Está en la biblioteca del Departamento de Física.
  2. A. N. Kolmogorov y S. V. Fomin
    "Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional"
    Está en la biblioteca. Matemáticamente muy riguroso.
  3. M. Balanzat
    "Lecciones sobre teoría de distribuciones"
    Es un apunte mecanografiado de un curso dictado por Manuel Balanzat en el instituto Balseiro en la década del 50. Tiene una breve introducción sobre integral de Lebesgue, y luego desarrolla la teoría de distribuciones. Incluye transformadas integrales (Fourier y Laplace). No está en biblioteca, pero hay varias fotocopias dando vueltas entre ex-alumnos de la materia.
  4. I. Stakgold
    "Green's Functions and Boundary Value Problems"
    Otro libro recomendable. Están muy bien desarrollados la teoría espectral de operadores en espacios de Hilbert, y como su nombre lo sugiere, lo referente a funciones de Green. Está en la biblioteca.
  5. E. N. Economou
    "Green's functions in Quantum Physics"
    Es un libro avanzado. Usamos el primer capítulo, donde trata la función de Green a lo "físico". No está en la biblioteca, pero hay varias copias del primer capítulo dando vueltas.
  6. C. Cohen-Tannoudji
    "Quantum Mechanics"
    Este es el libro clásico de mecánica cuántica. El segundo capítulo trata sobre la formulación matemática de la cuántica, haciendo uso de la notación de Dirac. Está en la biblioteca.

Enlaces a sitios de interés

  • Algo de historia: biografías de gente que algo tiene que ver con los temas a tratar en la materia
  • Henri Lebesgue, un matemático francés que desarrolló la idea moderna de integral.

    David Hilbert, un matemático alemán con fuerte inclinación hacia la física, desarrolló la teoría de los espacios que hoy llevan su nombre, entre otras cosas. Es famosa una charla que dió en 1900 planteando cuáles eran los problemas irresueltos más importantes de las matemáticas.

    Stefan Banach, un matemático polaco, principal impulsor del análisis funcional, buena parte del cual nació en las mesas del Café Escocés de Lvov (ahora Ucrania, antes Polonia).

    Paul A. M. Dirac, un físico inglés, contribuyó fuertemente al desarrollo de la mecánica cuántica, en particular a la teoría relativista del electrón y todo lo que de ella surge (antimateria, spin, ...). Su libro "Principios de Mecánica Cuántica" es un clásico en la materia. Buscador incansable del monopolo magnético y de belleza en las teorías físicas.

    John Von Neumann, un físico húngaro, discípulo de Hilbert, fundamentó matemáticamente la mecánica cuántica, mediante el empleo de la teoría de espacio de Hilbert.

    Laurent Schwartz , un matemático francés que dió rigor matemático a la famosa función delta de Dirac, mediante la teoría de distribuciones o funciones generalizadas.

    Cantor : Una breve historia de la teoría de conjuntos.