GEO y LIE

Día: viernes 10 de junio

Hora: 14:30 hs

Lugar: Aula 13

Expositor: Dr. Raul Vidal , quien terminó sus cursos de Licenciatura y Doctorado en la Facultad de Matemática, Astronomía y Física de la Universidad Nacional de Córdoba. Actualmente se desempeña como docente en dicha facultad y cursa una beca posdoctoral de CONICET.

Título: Acotaciones de operadores integrales.

Resumen: Se introduciran las definiciones de operadores clásicos del análisis armónico: funciones maximales, operadores integrales singulares y integrales fraccionarias. Se establecerán los resultados clásicos respecto a la acotación de estos operadores tanto en medida de Lebesgue como con pesos Muckenhoupt. Luego se hará mención de resultados nuevos donde se establece la dependencia de la norma del operador respecto a los pesos. Como aplicación de estos resultados mostraremos una desigualdad de Sobolev con pesos. El nivel de la charla esta pensado para gente con poca experiencia en el tema.

Día: martes 12 de abril

Hora: 14 hs

Lugar: Aula 33

Expositor: Dr. Alejandro Kocsard , quien realizó su licenciatura en esta facultad, su doctorado en el IMPA y actualmente es Profesor en la Universidad Federal Fluminense de Río de Janeiro.

Título: Acciones de grupos y paseos aleatorios en variedades.

Resumen: El objetivo central de esta charla es discutir algunos problemas relacionados con acciones de grupos finitamente generados en variedades compactas, y cómo estos problemas pueden ser abordados a través de técnicas de naturaleza dinámica y probabilística.

Día: miércoles 14 de octubre

Hora: 14 hs

Lugar: Aula 25

Expositor: Dr. Mauro Subils , docente de nuestra Facultad y becario posdoctoral de CONICET.

Título: Geometrías de Cartan.

Resumen: El concepto de "espacio generalizado" fue introducido en la década de 1920 por Elie Cartan y tenía como objetivo conectar el Programa de Erlangen de Felix Klein con la geometría diferencial. Su idea era considerar espacios homogéneos "curvados" tal como las variedades Riemannianas pueden pensarse como modelos "curvados" del espacio euclídeo. Estos espacios, lo que ahora se conocen como geometrías de Cartan, consisten en un fibrado principal dotado de una conexión de Cartan. Un problema que se presenta naturalmente consiste en asociar a una estructura geométrica una geometría de Cartan. Esto además de dar un nuevo marco de trabajo resuelve el problema de equivalencia para dichas estructuras. En este seminario introduciremos la noción de geometría de Cartan, presentando algunos ejemplos sobre la correspondencia entre estas y estructuras geométricas conocidas.

Día: miércoles 16 de septiembre

Hora: 14 hs

Lugar: Aula 25

Expositor: Lic. Jorge Flamini , docente de nuestra facultad, donde también se encuentra finalizando la carrera de Maestría en Matemática Aplicada. En su charla va a exponer los temas sobre los cuales está trabajando en el marco del Plan de Investigación de su Tesis.

Título: Vinculación entre las álgebras de Lie y la teoría de control.

Resumen: Un sistema de control automático puede ser visto, de manera informal, como un objeto dinámico (por ejemplo, una ecuación diferencial ordinaria) que contiene un parámetro (control) que puede ser manipulado para influir en el comportamiento del sistema a fin de lograr un objetivo deseado. En la presente charla nos referiremos específicamente a los sistemas dinámicos conmutados, entendiendo por tales a aquellos sistemas dinámicos híbridos que consisten en una familia de subsistemas de tiempo continuo y una regla (o señal de conmutación) que organiza el cambio de cada uno de ellos, al que actuará subsecuentemente. Examinaremos la evolución reciente de los tres problemas básicos respecto a la estabilidad y diseño de tales sistemas, a saber: (i) la estabilidad para señales de conmutación arbitrarias, (ii) la estabilidad para ciertas clases útiles de señales de conmutación, y (iii) la construcción de señales de conmutación que estabilizan el sistema. Pondremos énfasis en el primero de los problemas mencionados y destacaremos el uso de una herramienta que se ha mostrado apta para enfrentarlo: la teoría de las álgebras de Lie. Mediante su implementación se han obtenido resultados que han podido ser aplicados directamente a su solución. También nos referiremos en esta charla a esta aplicación.

Día: lunes 29 de junio

Hora: 10:30 hs

Lugar: Aula 15

Expositor: Dr. Justin Ryan , PhD por la Universidad del Estado de Wichita (EEUU) graduado en 2014. Actualmente el Dr. Ryan es Becario Posdoctoral de CONICET y se encuentra trabajando en nuestro Departamento de Matemática.

Título: A characterization of Ehresmann connections on fiber bundles

Resumen: In 1950 Charles Ehresmann defined a connection on a fiber bundle p:E -> M to be a horizontal distribution H on E with a property called Horizontal Path Lifting, or HPL. Ehresmann realized that HPL is a nontrivial property of horizontal distributions: not all H have HPL. He included it in his definition to ensure that the horizontal distributions which are connections admit a well-defined system of parallel transport along the base manifold M. In this talk I will define all of the relevant objects of study, briefly explain their importance, and give some examples. I will then present a geometric characterization of the horizontal distributions which have HPL.

Día: lunes 15 de junio

Hora: 10:30 hs

Lugar: Aula 32

En esta oportunidad la charla tendrá como objetivo presentar y discutir los resultados obtenidos en el siguiente trabajo de Isabel Dotti (FaMAF): "Ricci Curvature of Left Invariant Metrics on Solvable Unimodular Lie Groups" Math. Z. 180, 257-263 (1982). La presentación estará a cargo de Isolda Cardoso y Viviana del Barco, ambas docentes de nuestra facultad.

Día: lunes 18 de mayo

Hora: 10:30 hs

Lugar: Aula 32

Expositor: Lic. Exequiel Rivas , docente de FCEIA, y alumno Doctorado en Informática en la misma.

Título: Categorías monoidales y una generalización del teorema de Cayley.

Resumen: en la computación y el álgebra existen objetos que llevan una estructura similar a los monoides, pero que sin embargo no pueden ser cubiertos por la teoría clásica sobre conjuntos. En esta charla abordaremos las categorías monoidales, una herramienta que nos permitirá definir monoides de manera generalizada, y estudiaremos cómo se generalizan algunas definiciones y resultados clásicos. Entre estos resultados, veremos una generalización del teorema de Cayley, mediante el cual se obtienen aplicaciones de interés para la computación.

Día: lunes 27 de abril de 2015 (Parte 2)

Hora: 10:30 hs

Lugar: Aula 32

Día: lunes 20 de abril de 2015 (Parte 1)

Hora: 10:30 hs

Lugar: ITDI (3° piso)

Expositor: Dr. Mauro Subils , docente de nuestra Facultad y becario posdoctoral de CONICET.

Título: El problema de equivalencia Resumen. El Problema de Equivalencia consiste en determinar condiciones necesarias y suficientes para que dos estructuras geométricas sean localmente equivalentes. En este seminario formalizaremos este problema dando una idea de como resolverlo aplicando el método de equivalencia de Cartan, en particular, el proceso de prolongación. Luego, presentaremos un refinamiento de este proceso dado por N. Tanaka para tratar problemas de equivalencia asociados a distribuciones complemente no-integrables.

Día: miércoles 17 de diciembre

Hora: 11:00hs

Lugar: Aula 11

Expositora: Dra. Isolda Cardoso , docente de nuestra facultad y becaria posdoctoral de CONICET.

Título: Análisis armónico en pares de Gelfand.

Resumen. En el análisis armónico clásico de R^n se trata de estudiar funciones a través de su descomposición en funciones más sencillas: los caracteres para la transformada de Fourier, descomponiendo a su vez el espacio ambiente en (sub)espacios asociados a sus caracteres. Estas ideas se generalizan a espacios vectoriales topológicos y más generalmente a grupos topológicos. Cuando el grupo es LCA (localmente compacto y abeliano), el grupo dual hace las veces de caracter (la llamada dualidad de Pontryagin) y se define la versión LCA de la transformada de Fourier. Cuando el grupo (no necesariamente abeliano) es compacto, la herramienta fundamental es la teoría de representaciones unitarias. En este caso, cada representación unitaria irreducible corresponderá a un caracter para la transformada de Fourier correspondiente y la descomposición del espacio que así resulte (teorema de Peter-Weyl). Este tratamiento se aplica también a los grupos de Lie. En el contexto de los grupos de Lie exploraremos la estructura del álgebra de operadores diferenciales e introduciremos brevemente las nociones de par de Gelfand y de par de Gelfand generalizado. Intentaremos describir los elementos que hacen al análisis armónico en estas estructuras.

Día: martes 2 de diciembre

Hora: 13:00hs

Lugar: Aula 15

Expositora: Dra. Viviana del Barco , docente de nuestra facultad recientemente incorporada la carrera CIC de CONICET.

Título: Grupo de isometrías de grupos de Lie nilpotentes pseudo-Riemannianos

Resumen: Dado un grupo de Lie nilpotente con una métrica Riemanniana invariante a izquierda, es sabido que su grupo de isometrías queda determinado por su grupo de automorfismos isométricos. En el caso que la métrica no sea definida positiva este resultado no es válido en general. En esta charla discutiremos algunas razones que no hacen posible la extensión del resultado válido para el caso Riemanniano a través de ejemplos en grupos 2-pasos nilpotentes, considerando en ellos métricas Lorentzianas invariantes a izquierda y neutrales bi-invariantes.

Día: martes 18 de noviembre

Hora: 12:50hs

Lugar: Aula 15

Expositor: Dr. Francisco Vittone , docente de nuestra facultad recientemente incorporado a la carrera CIC de CONICET.

Título: Subvariedades y Holonomía normal

Resumen: Si M es una variedad Riemanniana, el grupo de holonomía de M es el grupo que forman las transformaciones de cada espacio tangente determinadas por el transporte paralelo a lo largo de lazos basados en cada punto, respecto de la conexión de Levi-Civita de la variedad. Este grupo reúne información importante de la variedad. Por ejemplo, si su componente conexa es trivial, la variedad es plana. Si el espacio tangente se parte como subespacios irreducibles respecto de la acción del grupo de holonomía, la variedad es un producto de variedades Riemannianas. Cuando consideramos una subvariedad N de una variedad Riemanniana M, queda naturalmente definido un espacio normal en cada punto y una conexión en el fibrado normal, denominada conexión normal. Asociado a esta conexión, puede definirse el grupo de holonomía normal. En esta charla repasaremos propiedades importantes del grupo de holonomía normal de subvariedades de formas espaciales reales (variedades de curvatura constante) y veremos qué dificultades se presentan al querer adaptar estas propiedadades a subvariedades de formas espaciales complejas.

Día: martes 4 de noviembre

Hora: 12:50hs

Lugar: Aula 15

Expositor: Dr. Silvio Reggiani , docente de nuestra facultad e investigador asistente de CONICET.

Título: Sistemas holonómicos y conexiones métricas con torsión antisimétrica.

Resumen: El grupo de holonomía de una variedad riemanniana puede construirse a partir de la curvatura usando el llamado transporte paralelo. La acción del grupo de holonomía en el espacio tangente tiene implicaciones en la geometría del espacio. Esto es lo que a veces se conoce como el estudio de la geometría desde un punto de vista holonómico. El resultado más importante en esta dirección es el teorema de holonomía de Berger, el cual dice que si el grupo de holonomía de un espacio irreducible no actúa transitivamente en la esfera (del espacio tangente), entonces el espacio debe ser localmente simétrico. La contraparte algebraica de este resultado está asociada a los llamados sistemas holonómicos introducidos por Simons, quien estudió la transitividad de ciertos subgrupos del grupo ortogonal que se construyen a partir de tensores abstractos de curvatura (es decir, tensores algebraicos que satisfacen las identidades del tensor de curvatura). El teorema de holonomía de Simons dice que un sistema holonómico irreducible y no transitivo debe ser simétrico. El teorema de Simons implica el teorema de Berger. Fue el mismo Simons quien sugirió que estas ideas podrían ser de utilidad en otros contextos geométricos. Recientemente se probó un teorema algebraico tipo-Simons, llamado el \emph{skew-torsion holonomy theorem}, para sistemas holonómicos construidos a partir de $3$-formas algebraicas (en lugar de tensores algebraicos de curvatura). En este caso el resultado es aún más fuerte, pues se prueba que no hay casos transitivos no triviales. Además se tienen varias implicaciones geométricas sobre la holonomía de conexiones métricas con torsión antisimétrica y el grupo de isometrías de espacios naturalmente reductivos. En esta charla trataremos de exponer de manera introductoria los teoremas de Berger-Simons y el skew-torsion holonomy theorem, así como los resultados geométricos que son consecuencia de este último.