Matemática Aplicada 2

Licenciatura en Física - Universidad Nacional de Rosario, Argentina

 
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La asignatura Matemática Aplicada II (F-321) se dicta en el segundo cuatrimestre del tercer año de la licenciatura en física. Se desarrollan temas matemáticos que se utilizan en las asignaturas del ciclo superior de física: Mecánica Cuántica I, Mecánica Estadística I y Materia Condensada.


Noticias 2014
  • Comienzo de clases: martes 19 de agosto.

Horarios 2014
  • Martes 09:00 a 12:00 Hrs en el aula 32

  • Jueves 09:30 a 12:30 Hrs en el aula 27


Docentes

  • Alejandra Martinez
    E-mail:martinez(at)ifir-conicet.gov.ar
    TE: 485-3222 interno 445
  • María Eugenia Torio
    E-mail:mariutorio(at)gmail.com
  • Luis Manuel
    E-mail:manuel(at)ifir-conicet.gov.ar
    TE: 485-3222 interno 418

Contenidos temáticos

Este es el programa oficial de la materia.
  • Propiedades generales de los conjuntos. Subconjuntos. Operaciones con conjuntos. Sucesiones de conjuntos.
  • Conjuntos lineales de puntos. Intervalos. Conjuntos de Borel. Longitud de un intervalo. Conjuntos en n dimensiones.
  • Entorno. Punto de acumulación. Conjunto denso. Extremo inferior y superior de un conjunto. Conjuntos acotados.
  • Bosquejo de la integral de Lebesgue: Medida de un conjunto. Conjuntos medibles. Medida exterior e interior de un conjunto. Teorema fundamental de la teoría de la medida. Definición de la integral de Lebesgue. Relación de la integral de Lebesgue con la de Riemann. Propiedades p.p. ("pesque partout") para conjuntos. Función de Dirichlet. Propiedades de la integral de Lebesgue. Teoremas fundamentales. Relaciones entre integral y derivada. Integración por partes para funciones de una variable. Reducción de una integral múltiple en integrales simples. Cambio de variables. Propiedades de paso al límite. Derivación bajo el signo de la integral.
  • Espacios vectoriales. Ejemplos de espacios vectoriales o lineales. Espacio vectorial de Hilbert. Subespacios. Espacio hermitiano. Producto escalar. Espacio normado. Espacio métrico y topológico. Ejemplos de espacios normados. Espacio L1 y L2. Métrica en el espacio L1 y L2. Espacio L2 complejo. Completitud y separabilidad. Convergencia cuadrática media. Su implicancia en la Física. Sistemas de funciones ortogonales en L2. Sistemas ortogonales y completos.
  • Funcionales lineales y operadores lineales. Funcionales lineales y continuas sobre espacios lineales: Espacio dual. Ejemplos de operadores lineales. Continuidad y acotación de operadores lineales. Suma y producto de operadores. Operador inverso, invertibilidad. Operadores adjuntos. Operador adjunto en un espacio euclídeo. Conjungado hermitiano de un operador. Operadores autoadjuntos. Espectro de un operador. Operadores totalmente continuos.
  • Introducción a la teoría de distribuciones: Espacio de funciones de prueba. Espacio dual. Definición de distribución. Ejemplos de distribuciones. La delta de Dirac. Integral de Stieljes. Medidas como funcionales lineales y continuas. Generalización del teorema del valor medio. Integración por partes. Distribución real. Soporte de una distribución. Derivación de distribuciones. Derivadas de la delta de Dirac. Interpretación física de la derivada de la delta de Dirac. Distribución valor principal (v.p.). Partes finitas de Hadamard. Primitiva de una distribución. Teorema fundamental. Convergencia de distribuciones. Distribuciones de soporte compacto. Funciones que aproximan la delta de Dirac. Núcleos singulares. Teorema. Ejemplos de núcleos singulares. Producto tensorial y multiplicativo de distribuciones. Propiedades y ejemplos. Cambio de variables en distribuciones. Ejemplos. Producto de convolución. Ejemplos. La delta de Dirac como unidad de convolución.
  • Transformadas integrales: Transformada de Fourier. Teoremas fundamentales. Cambios elementales de variables. Ejemplos.
  • Extensión de la transformada de Fourier a distribuciones. Distribuciones temperadas. Transformada de Fourier de la delta de Dirac.
  • Funciones de Green independientes y dependientes del tiempo.

Apuntes de la materia

  1. Teoría de conjuntos: Potencia  [pdf]
  2. Teoría de la medida e integral de Lebesgue [pdf]
  3. Espacios métricos [ pdf]
  4. Espacios de Banach [ pdf]

Trabajos Prácticos

  1. Distribuciones [pdf]
  2. Transformada de Fourier [pdf]
  3. Funciones de Green [pdf]
  4. Espacios métricos [pdf]
  5. Espacios normados - Operadores lineales [pdf]
  6. Espacios de Hilbert y funcionales lineales [pdf]
  7. Operadores en espacios de Hilbert [pdf]
  8. Teoría espectral de operadores [pdf]
Para aplicación de la teoría de espacios de Hilbert a la mecánica cuántica hacemos problemas del capítulo 2 del Cohen-Tannoudji.

Bibliografía

  1. D. H. Griffel
    "Applied functional analysis"
    Un libro muy recomendable. Empieza con distribuciones, transformada de Fourier y funciones de Green. En la materia damos la parte de operadores en espacios de Hilbert a través de este libro. Está en la biblioteca del Departamento de Física.
  2. A. N. Kolmogorov y S. V. Formin
    "Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional"
    Está en la biblioteca. Matemáticamente muy riguroso.
  3. M. Balanzat
    "Lecciones sobre teoría de distribuciones"
    Es un apunte mecanografiado de un curso dictado por Manuel Balanzat en el instituto Balseiro en la década del 50. Tiene una breve introducción sobre integral de Lebesgue, y luego desarrolla la teoría de distribuciones. Incluye transformadas integrales (Fourier y Laplace). No está en biblioteca, pero hay varias fotocopias dando vueltas entre ex-alumnos de la materia.
  4. I. Stakgold
    "Green's Functions and Boundary Value Problems"
    Otro libro recomendable. Están muy bien desarrollados la teoría espectral de operadores en espacios de Hilbert, y como su nombre lo sugiere, lo referente a funciones de Green. Está en la biblioteca.
  5. E. N. Economou
    "Green's functions in Quantum Physics"
    Es un libro avanzado. Usamos el primer capítulo, donde trata la función de Green a lo "físico". No está en la biblioteca, pero hay varias copias del primer capítulo dando vueltas.
  6. C. Cohen-Tannoudji
    "Quantum Mechanics"
    Este es el libro clásico de mecánica cuántica. El segundo capítulo trata sobre la formulación matemática de la cuántica, haciendo uso de la notación de Dirac. Está en la biblioteca.

Enlaces a sitios de interés

  • Algo de historia: biografías de gente que algo tiene que ver con los temas a tratar en la materia
  • Henri Lebesgue, un matemático francés que desarrolló la idea moderna de integral.

    David Hilbert, un matemático alemán con fuerte inclinación hacia la física, desarrolló la teoría de los espacios que hoy llevan su nombre, entre otras cosas. Es famosa una charla que dió en 1900 planteando cuáles eran los problemas irresueltos más importantes de las matemáticas.

    Stefan Banach, un matemático polaco, principal impulsor del análisis funcional, buena parte del cual nació en las mesas del Café Escocés de Lvov (ahora Ucrania, antes Polonia).

    Paul A. M. Dirac, un físico inglés, contribuyó fuertemente al desarrollo de la mecánica cuántica, en particular a la teoría relativista del electrón y todo lo que de ella surge (antimateria, spin, ...). Su libro "Principios de Mecánica Cuántica" es un clásico en la materia. Buscador incansable del monopolo magnético y de belleza en las teorías físicas.

    John Von Neumann, un físico húngaro, discípulo de Hilbert, fundamentó matemáticamente la mecánica cuántica, mediante el empleo de la teoría de espacio de Hilbert.

    Laurent Schwartz , un matemático francés que dió rigor matemático a la famosa función delta de Dirac, mediante la teoría de distribuciones o funciones generalizadas.

    Cantor : Una breve historia de la teoría de conjuntos.