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EL RESONADOR HELMHOLTZ COMO FILTRO
ACÚSTICO DE
BANDA LOCALIZADA
Andrés Guiguet Reinaldo Welti
andresguiguet@yahoo.com.ar weltreb@arnet.com.ar
Laboratorio de Vibraciones y Ondas – Cátedra de Física II
FCEIA - UNR - Avda. Pallegrini 250
Resumen. En este trabajo se analiza
el efecto de filtrado que produce un
resonador Helmholtz insertado en un tubo de Kundt. Tal efecto ocurre si
se tiene tanto ondas propagantes como ondas estacionarias en el interior del
tubo. En el primer caso se mide el coeficiente de transmisión y en el segundo
las variaciones que se producen en los
modos normales de oscilación del aire en el interior del tubo. Se comparan las
mediciones con los resultados teóricos y se establece un criterio para
determinar la elección de los parámetros del resonador que optimizan su
funcionamiento como filtro de ondas propagantes o de ondas estacionarias.
1. Introducción
El filtro de cavidad resonante conocido como
resonador Helmholtz (RH) pertenece a un tipo más amplio de filtros
denominados “silenciadores activos” que tienen gran importancia en el control
de ruido. En los sistemas de transporte de gases, como los de aire
acondicionado o de ventilación industrial, se utilizan mucho este tipo de
filtros. Algunas de las razones son: su bajo costo, la posibilidad de
instalarlo sin modificar las estructuras existentes y la baja pérdida de carga
que producen. El filtro de cavidad, con su capacidad de absorber vibraciones de
bajas frecuencias, en un rango de frecuencia muy selectivo, hace que sea ideal
para los sistemas de transporte de gases, donde las paletas de los ventiladores
golpean el gas y generan ruido de tonos discretos en una banda de baja
frecuencia. Este ruido, que se propaga en el interior del conducto, es
irradiado en su extremo generando un zumbido molesto y en algunas
circunstancias origina una vibración de toda la estructura. Tanto el estudio
analítico como el diseño de estos filtros son diferentes para ondas propagantes
y ondas estacionarias en el interior del tubo. En ambos casos el filtro provoca
una atenuación en una estrecha banda de frecuencias alrededor de una frecuencia
central que depende de las dimensiones del filtro.
En un conducto con ondas propagantes en su interior,
el efecto de atenuación se describe por medio del coeficiente de transmisión,
esto es, por el cociente entre las amplitudes de la onda, después y antes de
que esta pase por el punto de inserción del filtro. El caso de un conducto con
ondas estacionarias en su interior requiere de otro enfoque. En esta situación,
para ciertas frecuencias, llamadas frecuencias de resonancias, se excitan sus
modos naturales de oscilación, y la amplitud de la onda en su interior puede
alcanzar valores muy grandes. Lo que se busca, en estas circunstancias, es que
el filtro suprima algunos de estos modos naturales de oscilación.
En este trabajo estudiamos teórica y
experimentalmente el efecto de filtrado que produce el RH tanto para
ondas propagantes como para ondas estacionarias. En el primer caso se mide el
coeficiente de transmisión y en el segundo las variaciones que produce el
filtro en los modos normales de oscilación. En el Anexo 1 se explica brevemente
el funcionamiento de un RH y se definen los parámetros acústicos
relevantes de este dispositivo cuando es insertado en un tubo. En la sección 2
se reproduce la derivación del coeficiente de transmisión que realizan Reynolds
(1981) y Kinsler et al (1982). En la sección 4 deducimos las variaciones en la
amplitud de respuesta en función de la frecuencia que produce la inserción
lateral del resonador en un tubo resonante. En la sección 5 se describe el
diseño experimental y el material que hemos utilizado. En la sección 6 se presentan los resultados experimentales.
y cómo estos se comparan con la teoría. Finalmente, en la sección 7 se formulan
criterios para la elección de los parámetros del resonador que optimizan su
funcionamiento como filtro de ondas propagantes o de ondas estacionarias.
2. Coeficiente de transmisión en un punto de bifurcación
Supongamos, como se muestra en la figura 1, que el
tubo 0, de impedancia acústica Z0, se bifurca en dos: el 1 y el 2, que tienen
impedancias acústicas Z1 y Z2,
respectivamente. Si se propaga una onda
a lo largo del tubo principal es de esperar que se produzca una onda reflejada
en el punto de derivación y dos ondas que se transmiten por las derivaciones.
Un caso especial, (ver figura 2) es aquel en el cual una derivación (1 = b)
de impedancia acústica arbitraria Zb
se conecta en z = 0 a un tubo largo infinito de sección
transversal S e impedancia acústica Z2 = Z0
= r0c/S.
En la figura2, A es la amplitud de la onda incidente y C la amplitud de la onda que se transmite a lo
largo del tubo principal. En este caso se tiene que el coeficiente de
transmisión de potencia (Kinsler et al,
1982) viene dado por:
(1)
Vamos a suponer ahora que la derivación lateral del tubo es un RH
como se muestra en la figura 3. Si el resonador es ideal toda la energía que
absorbe el resonador es devuelta al interior del tubo y por lo tanto la pérdida en la derivación sería nula (RH
= 0). No obstante, si el diámetro del cuello del resonador es muy pequeño
pueden existir pérdidas debido a las fuerzas viscosas que se oponen al
movimiento del aire. Estas pérdidas son generalmente pequeñas. En nuestras
experiencias se cumple que RH << r0c/S. Vamos a despreciar la resistencia de la
bifurcación (Rb = RH) en el paréntesis del denominador
de la ecuación (1) pero lo mantendremos en el denominador para no tener un
valor cero del coeficiente de transmisión para la frecuencia que anule la
reactancia (que es la frecuencia de resonancia del resonador).
Si reemplazamos en (1) la expresión (10) para la impedancia acústica del RH se obtiene la siguiente expresión para el coeficiente de transmisión:
(4)
donde
(5)
En la ecuación (2) w0 es la frecuencia natural de oscilación del RH, r0 la densidad del aire, SH y L
la sección y la
longitud, respectivamente, del cuello de la botella.
El coeficiente de
transmisión en función de la frecuencia
tiene el aspecto que se muestra en la figura
4. El mínimo de T, que se obtiene para f = f0, es igual a 4r2. En esta frecuencia, en
ausencia de pérdidas r = 0 y T = 0, porque
toda la energía acústica que se transfiere de la onda incidente a la cavidad
del resonador se devuelve al tubo principal pero con una relación de fase tal
que vuelve hacia la fuente. Si definimos el ancho de banda en frecuencia Df1/2 del filtro como el intervalo de frecuencias para el
cual T £ ½, entonces se puede mostrar
que si r << 1,
(6)
Observemos que mientras más pequeños sean los
valores de r y de c se obtendrá una mayor atenuación y un mayor ancho de banda en
frecuencias del filtro respectivamente. Para c = 1 y f0 = 420 Hz, se tiene un ancho de banda Df1/2 » 200 Hz.
3. Inserción del RH en un tubo con
ondas estacionarias
En la deducción de la ecuación (2) se supone que, a
la derecha del resonador solamente se tiene una onda que viaja de izquierda a
derecha. Esto ocurrirá solamente si el tubo principal es un tubo infinito o con
una terminación perfectamente absorbente. Supondremos ahora que el tubo que
continúa a la derecha del resonador tiene una longitud finita y que termina con
su extremo abierto como se muestra en la figura 3. En este sistema no se
tendrán ondas propagantes como en la sección anterior sino ondas estacionarias.
Para analizar el efecto del filtro se debe comparar el patrón de resonancias
del sistema constituido por el tubo y el
resonador con el patrón de resonancias del mismo tubo sin el resonador.
Para encontrar el patrón de ondas estacionarias del
dispositivo que se muestra en la figura 3 debemos calcular su impedancia de
entrada. Recordemos que las frecuencias para las cuales la impedancia de
entrada es cero (admitancia de entrada infinita) son las frecuencias de
resonancia del sistema. Para calcular esta impedancia de entrada es conveniente
reemplazar las porciones de tubo y el resonador por sus equivalentes eléctricos
correspondientes.
En la figura 5 se muestra un circuito eléctrico
equivalente del dispositivo que se muestra en la figura 3. Para calcular la
impedancia del sistema en la entrada debemos calcular la impedancia en
paralelo Zp entre la impedancia Z1 del tubo de longitud l1 que termina en una impedancia acústica ZL y el
resonador Helmholtz que tiene una impedancia
ZH. Finalmente la impedancia de entrada
Ze es la impedancia de un tubo de
longitud l2 que termina en una impedancia
Zp.
La impedancia
Z1 del tubo de longitud l1 que termina en la impedancia
ZL es
(7)
donde Z0 = r0c/S es la impedancia acústica del tubo y k = w/c
el número de onda.
La impedancia
Zp del paralelo entre la
impedancia Z1 y la impedancia del resonador es
(8)
La impedancia de entrada Ze, es la impedancia de un tubo de longitud l1 que termina en la impedancia
Zp, esto es:
(9)
Si reemplazamos (7) y (8) en (9) obtenemos:
(10)
Si el extremo derecho del tubo está abierto y no
tenemos en cuenta la impedancia de radiación,
ZL = 0 , entonces:
(11)
Reemplazando (11) en (10) obtenemos
(12)
Trabajando algebraicamente y utilizando identidades
trigonométricas se obtiene:
(13)
Si suponemos que la impedancia acústica del
resonador es ZH
= RH + jXH, obtenemos finalmente
(14)
El módulo de la impedancia de entrada, o sea el
módulo de la admitancia Ye viene dado por
(15)
donde
(16)
y r y c las constantes definidas en (5).
En la figura 6 se muestra una gráfica del módulo de
la admitancia que se calculó con la ecuación (15) para un caso particular en el
cual la frecuencia del RH es fH
= 400 Hz, c = 1,
r
= 0.1, l1
= 0.75 m y l2 = 0.25
m. La curva en líneas punteadas, calculada teóricamente, es la gráfica de
la admitancia de entrada del tubo sin resonador. Las frecuencias para las
cuales esta admitancia es muy grande (idealmente infinito sino hay rozamiento
ni radiación por sus extremos) son las frecuencias de resonancia del tubo que
son: 170 Hz, 340 Hz, 510 Hz,
680 Hz, etc., suponiendo que la velocidad del sonido es de 340 m/s.
En la figura 7 se observa que la inserción del resonador corre la primer
resonancia de 170 Hz levemente hacia la izquierda y que la resonancia de
680 Hz permanece inalterada. La
resonancia de 510 Hz está levemente corrida hacia la derecha y con una
amplitud muy disminuida. La resonancia de 340 Hz desapareció pero
surgen, sin embargo, dos pequeños picos en
260 y 420 Hz. Estos dos picos tienden a infinito cuando la
resistencia del resonador tiende a cero (r ® 0) y deben ser considerados
por lo tanto como modos resonantes causados por la inserción del resonador.
En resumen, el filtro de 336 Hz anula el modo de frecuencia 340 Hz,
produce una disminución de la amplitud del modo de 510 Hz y el surgimiento de dos modos resonantes
adicionales de amplitudes relativamente pequeñas. En la sección donde comparamos los valores medidos con los
teóricos vamos a dar más detalles.
4. Descripción del equipo experimental
En la realización de este trabajo se
utilizaron los siguientes elementos:
1.
Un
tubo de PVC de 1m de longitud y 2,7 cm de diámetro. A este tubo se le
han practicado tres orificios, a 0,25 cm, 0,50 cm y 0,75 cm de uno de sus extremos,
respectivamente para insertar el resonador Helmholtz y los micrófonos.
2.
Un
parlante y un micrófono con buena respuesta en frecuencia.
3.
Una
fuente de sonido de amplitud y frecuencia variable.
4.
Un
amplificador de audio y un osciloscopio.
Salvo el tubo de PVC, el resto del equipo es
de PASCO scientific â.
Se construyeron tres RH: en el Apéndice 2 se describen las dimensiones y otras
características de los tres resonadores que se han utilizado en este trabajo.
Para que en el tubo se tengan solamente ondas
propagantes (y no ondas estacionarias) se debe colocar un absorbente del sonido
en el extremo derecho del tubo. El absorbente que hemos utilizado es de lana de
vidrio compacta de 30 cm de longitud:
comienza con un diámetro igual al del tubo y gradualmente va disminuyendo (como
en un cono) en la dirección en que se encuentra el parlante. La efectividad de
esta terminación absorbente se comprobó midiendo la amplitud de respuesta
cuando el sistema tubo + absorbente era excitado con una señal de amplitud
constante y frecuencia variable. La amplitud de respuesta es relativamente
independiente de la frecuencia, sin embargo, sus variaciones, aún cuando se
mantienen menores que ± 3 dB, indicaban la existencia de
ondas reflejadas que producían ondas estacionarias.
5. Resultados experimentales
5.1.
Coeficiente de transmisión
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En las figuras 7 y 8
se muestran los coeficientes de transmisión que se obtuvieron con resonadores
de frecuencia fH = 720 ±. 10 Hz y 410 ± 6 Hz, respectivamente. El
aspecto general de las curvas de transmisión medidas coinciden con sus formas
teóricas que se muestran en estas figuras como curvas punteadas. Las amplitudes
transmitidas muestran, como era de esperar, una fuerte disminución en un
entorno de la frecuencia del resonador. Se observa que las curvas
experimentales tanto de la figura 7 como en la 8 se desvían apreciablemente de
la curva teórica para frecuencias que están entre 450 y 550 Hz.
En este intervalo las curvas experimentales muestran un pequeño máximo
relativo. Este comportamiento de la amplitud medida puede ser ocasionada por la
existencia de ondas estacionarias en el interior del tubo que se originan por
el deficiente funcionamiento de la terminación absorbente. El dispositivo de
forma cónica y de lana de vidrio que se utiliza como terminación “perfecta”
debe tener, para su mejor funcionamiento, una longitud mayor que la mayor
longitud de onda utilizada que en este trabajo es del orden de 1m (300 Hz). La terminación
que utilizamos, sin embargo, no supera los 0,30 cm debido a la pequeña
longitud de nuestro tubo de Kundt (1 m).
En la figura 7 se observa que el mínimo valor de T,
es de aproximadamente -13 dB. De acuerdo a la teoría de la sección
3, el valor mínimo de T es 4r2. A partir de este valor
medido concluimos que r = RH/Z0
» 0.11. El ancho de banda en
frecuencia Df1/2 , que se mide a partir de la
curva experimental, de acuerdo a la definición de la sección 3, es de
aproximadamente 175 Hz. Como Df1/2 » fH/2c, obtenemos que c » 2. La medición del coeficiente
de transmisión nos permite determinar la resistencia RH y la
constante c del resonador. El valor de
c que se calcula a partir de la
frecuencia del resonador y de sus dimensiones (resonador B, ver Apéndice 2) es
del orden de 1.8 , valor que se compara muy bien con el que se estima
experimentalmente a partir de la figura 7.
En la figura 8 se muestra una gráfica del
coeficiente de transmisión para un resonador (resonador A, ver apéndice) cuya frecuencia de resonancia es de 420
± 10 Hz . De acuerdo al mínimo
valor de T y del ancho de banda en frecuencia de esta
curva se obtiene que r = RH/Z0
» 0.8 y c » 1.2. Observemos que el valor
de c que se calcula teóricamente para este resonador en el Apéndice 2
es del mismo orden que el que se determina experimentalmente a partir de la
figura 8.
5.2. El
filtro Helmholtz en un tubo resonante.
En esta sección describiremos los resultados que se obtienen cuando el
sistema está dispuesto como se muestra esquemáticamente en la figura 3. Como el
tubo está abierto a la derecha se formarán ondas estacionarias con o sin la
presencia del resonador. En ambos casos, con o sin resonador, las mediciones de
la amplitud de respuesta se realizan con el parlante ubicado en el extremo
izquierdo y el micrófono en el orificio situado a la derecha del resonador.
Figura 9. Valores medidos de la
amplitud de respuesta del tubo en función de la frecuencia. En líneas punteadas
sin el resonador y en líneas llenas con el resonador.
En la figura 9 se muestra, en líneas llenas, los
valores medidos de la amplitud de respuesta, con el resonador insertado en el
tubo y en línea punteada la amplitud de respuesta sin el resonador. Los
parámetros del resonador (resonador C, ver Apéndice 2) son fH = 336 Hz, r = 0.1 , c = 1.6 . La frecuencia del resonador es muy próxima de la
segunda resonancia del tubo (340 Hz). Observemos que después de colocar
el resonador esta resonancia desaparece, mientras que la frecuencia de la
primera resonancia (170 Hz) se corre hacia la izquierda en
aproximadamente 10 Hz. La tercera resonancia (no mostrada en la figura)
se corre en la misma cantidad hacia la derecha. Tanto la primera como la
tercera resonancia disminuyen su amplitud en un factor de 0.6 (~ - 5 dB).
Un hecho notable es la aparición de dos pequeños
picos en aproximadamente 295 y 400 Hz respectivamente, o sea
en ± 60 Hz a uno y otro lado de la
frecuencia (340 Hz) del resonador.
Es interesante comparar estas curvas experimentales
con las curvas teóricas que se obtienen con la teoría desarrollada en la
sección 3. La curva de la figura 10 en línea punteada, muestra las amplitud de
respuesta teórica en ausencia de resonador y la curva en línea llena, la admitancia del tubo en presencia
del resonador. Esta última curva se calcula mediante la ecuación (15) para los
parámetros del resonador C. La curva teórica refleja satisfactoriamente el
comportamiento de la curva experimental: desaparece la segunda resonancia, la
primera resonancia disminuye su amplitud y se corre hacia la izquierda y
aparecen dos pequeños picos a uno y otro lado de la segunda resonancia. En los
cálculos teóricos estos dos picos están corridos aproximadamente a ± 80 Hz de la frecuencia del
resonador (los valores medidos para estos corrimientos son de ± 60 Hz y la frecuencia de la
primera resonancia se corre 20 Hz hacia la izquierda (el valor medido es
de 10 Hz).
Los cálculos teóricos permiten confirmar que los dos
pequeños picos en 295 y 400 Hz, respectivamente, son frecuencias
de resonancia del sistema tubo + resonador. En efecto si hacemos r = 0, (RH = 0)
la admitancia teórica se hace infinita en estas frecuencias. Si la resistencia
del resonador es muy pequeña (r £ 0.01) estas resonancias tienen
amplitudes muy grandes y el “filtro” en lugar de eliminar un modo resonante
introduciría dos, lo que podría significar en ciertas situaciones un
comportamiento no deseado.
En la figura 11 se muestra, en líneas llenas,
la amplitud de respuesta en función de la frecuencia cuando se inserta en el
tubo un resonador de 420 ± 10 Hz (resonador A). En esta
situación se observa que la segunda resonancia desaparece totalmente mientras
que la tercera de 510 Hz se corre hacia
la derecha y su amplitud disminuye fuertemente. La primera resonancia se corre
levemente hacia
la izquierda y la
quinta queda prácticamente sin variaciones en amplitud y frecuencia. Se
observa igualmente la aparición de dos pequeños picos en 300 Hz y 430Hz.
La curva en líneas
llenas de la figura 12 es la gráfica de la admitancia de entrada del sistema
compuesto por el tubo y el resonador que se calcula con la ecuación (15) de la
sección 3, para un resonador cuyos parámetros son: fH = 420 ± 10 Hz, r = 0.8 y c = 1.2 . Observamos otra vez un
buen acuerdo entre la curva teórica de la figura 13 y la que se obtiene
experimentalmente (figura 11).
6. Conclusiones
El coeficiente de transmisión que se mide experimentalmente concuerda
razonablemente bien con la curva teórica como se observa en las figuras (7) y
(8). La forma de estas curvas depende de los parámetros r y c del RH. El mínimo
valor de T es igual a
Tm = 4r2 y el ancho de banda en
frecuencia de la misma es Df1/2 = fH/2c , donde Df1/2 es el entorno de frecuencias alrededor de fH en el cual el módulo de T
es menor o igual a 1/2. Un criterio de bondad para este tipo de filtro
es que Tm ® 0
(máxima atenuación) y que Df1/2 /fH
>>1
(gran ancho de banda).
La resistencia del resonador puede hacerse muy pequeña si el diámetro
del cuello del resonador es relativamente grande. Con esto se logra que la
energía que disipa en un ciclo por la acción de las fuerzas viscosas se
mantengan pequeñas respecto de la energía cinética de la masa de aire en
movimiento.
A partir de la expresión para el ancho de banda del filtro se deduce
que se puede obtener una reducción sustancial de la onda transmitida, sobre un
rango de frecuencia que se extiende por más de una octava a uno y otro lado de
la frecuencia de resonacia fH
, si c £ 1/2 , esto es si
Es un hecho notable que esta condición dependa solamente de las
características geométricas del resonador y del diámetro del conducto.
Cuando se utiliza un RH como filtro de ondas
estacionarias su propósito, en general, es el de eliminar uno o varios de los
picos de resonancia en el interior del conducto. Este objetivo se logra
eligiendo un resonador Helmholtz cuya frecuencia fH
coincida o esté próxima con las frecuencias de los modos que se desean
eliminar. En este caso el comportamiento del filtro es más eficiente cuando
mayor es su resistencia. Si la resistencia del filtro es muy pequeña, y su
frecuencia coincide exactamente con la frecuencia de uno de los modos de
oscilación del conducto, se elimina este modo pero aparecen dos modos
adicionales que se originan por la inserción del filtro. La amplitud de estos
modos dependen fuertemente de la resistencia acústica del resonador RH. De acuerdo a nuestros
resultados teóricos, confirmados por nuestras mediciones, los niveles de estos
modos espúreos se mantienen relativamente pequeños si
donde Z0 es la impedancia acústica del conducto. En esta situación el filtro no solamente elimina al modo que está próximo a su frecuencia de resonancia sino que también disminuye la amplitud de los modos vecinos como se observa en la figura 11. Observemos que el parámetro RH/Z0 juega un papel principal y a su vez antagónico según se use para "filtrar" ondas estacionarias o propagantes.
Referencias
Kinsler, Frey, Coppens y Sanders, Fundamentals
of Acoustics, tercera edición (John Wiley & Sons, 1982), Capítulos 9 y
10.
Reynolds, Engineering Principles of
Acoustics Noise and Vibration Control, (Allyn & Bacon, 1981), Capítulo
9.
Apéndice 1
El resonador Helmholtz
El RH consiste de una cavidad de paredes rígidas de volumen V
con un cuello de área S y longitud
L (ver figura A1a) . Si
l>>L, el fluido en el cuello se mueve como una unidad y se comporta como el
elemento masa de un oscilador a resorte. Si l >> V1/3, la presión acústica dentro de la cavidad
proporciona el elemento elástico de este oscilador (ver figura A1b).
Si l>>S1/2, la abertura irradia sonido
como lo hace una fuente simple dando lugar al elemento resistencia. Un
término resistivo adicional se debe a las pérdidas viscosas en el cuello.
Figura A1. Un oscilador acústico. Un
cálculo aproximado de la frecuencia supone que el aire en el cuello oscila
mientras que el aire en el bulbo tiene un comportamiento similar a un resorte.
Vamos a analizar al resonador de Helmholtz
calculando los valores del sistema mecánico análogo.
a)
Masa del oscilador: el fluido en el cuello tiene una masa efectiva total
m = r0SL. (A1)
b)
Elasticidad del oscilador. Para determinar la elasticidad del oscilador,
suponemos que la masa del cuello se desplaza hacia fuera una distancia x. El volumen de la cavidad cambia en
DV = - Sx, dando lugar a una variación
en la densidad de Dr/r = - DV/V = Sx/V. El incremento de la
presión (en la aproximación acústica) es
La fuerza que se requiere para obtener este desplazamiento es f = pS = (r0c2S2/V)x y la “constante elástica” del oscilador es
(A2)
c)
Resistencia del oscilador. Si el fluido que se mueve en el cuello irradia
sonido al medio ambiente como un tubo con su extremo abierto, entonces
para l>>a la resistencia de radiación del RH (Kinsler et al, 1982) viene
dado por:
(A3)
d)
Fuerza excitadora. La fuerza excitadora instantánea que produce una onda sonora de amplitud p
que incide sobre el resonador es
f = Spejwt
(A4)
La ecuación diferencial para el
desplazamiento x del fluido en el interior del cuello del
resonador es
(A5)
Puesto que la ecuación es idéntica a la de un
oscilador forzado, su solución puede obtenerse por analogía. En particular la impedancia
mecánica del RH es
(A6)
La frecuencia de resonancia
tiene lugar cuando la reactancia Xm es cero:
(A7)
En términos de w0
la reactancia mecánica del oscilador es:
(A8)
La impedancia acústica del resonador Za está relacionada con su impedancia mecánica a través de la
relación: , Za = p/U = (f/S)/(uS) = (1/S2)Zm,
esto es:
(A9)
donde
S es la sección del
cuello de la botella. Reemplazando Rm y Xm en esta ecuación, obtenemos la siguiente expresión para la
impedancia acústica ZH
del RH:
(A10)
En estas expresiones utilizamos el subíndice H para diferenciar
de otras impedancias acústicas y secciones que se introducirán más adelante. En
la expresión para la resistencia 
solamente se tomó en
cuenta la resistencia debida a la radiación. En un resonador que actúa como
filtro es más importante la contribución a la resistencia que se debe a las
pérdidas viscosas en el cuello. No se tienen expresiones analíticas para esta
resistencia. Sin embargo, se la puede medir experimentalmente (sección 5).
La reactancia XH del RH de acuerdo a la ecuación (A10)
viene dada por
(A11)
La impedancia acústica del tubo donde se inserta el RH es
(A12)
La reactancia del RH puede escribirse, por lo tanto, de la forma
(A13)
donde
c = (r0Lw0/SH)/(r0c/S0) = 
(A14)
Apéndice 2
Parámetros de los RH que se usaron en este trabajo
Los RH se insertaron en un tubo de PVC de radio r0 = 1,35 cm, S0 = 0,00057 m2
1. Datos del resonador A (395 – 402 Hz)
L = 0.02 m
SH =
0,000064 m2
V » 15 cm3
fH
» 395 - 402 Hz, c = 340 m/s,
c » 1.3
2. Datos del resonador B (657 – 662 Hz)
L =
0.015 m
SH =
0,000050 m2
V » 0,000009m3
fH
» 657-662 Hz, c = 340 m/s,
c » 1.8 – 1.9
3. Datos del resonador C (337 – 347 Hz)
L = 0.046 m
SH =
0,000050 m2
V » 0,000027 m3
fH
» 337 - 347 Hz, c = 340 m/s
c »
1.6