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EL RESONADOR HELMHOLTZ COMO FILTRO

ACÚSTICO DE BANDA LOCALIZADA

 

Andrés Guiguet             Reinaldo Welti

andresguiguet@yahoo.com.ar     weltreb@arnet.com.ar

Laboratorio de Vibraciones y Ondas – Cátedra de Física II

FCEIA - UNR - Avda. Pallegrini 250

 

Resumen. En este trabajo se analiza el efecto de filtrado que produce un  resonador Helmholtz insertado en un tubo de Kundt. Tal efecto ocurre si se tiene tanto ondas propagantes como ondas estacionarias en el interior del tubo. En el primer caso se mide el coeficiente de transmisión y en el segundo las variaciones que se  producen en los modos normales de oscilación del aire en el interior del tubo. Se comparan las mediciones con los resultados teóricos y se establece un criterio para determinar la elección de los parámetros del resonador que optimizan su funcionamiento como filtro de ondas propagantes o de ondas estacionarias.

 

1. Introducción

El filtro de cavidad resonante conocido como resonador Helmholtz (RH) pertenece a un tipo más amplio de filtros denominados “silenciadores activos” que tienen gran importancia en el control de ruido. En los sistemas de transporte de gases, como los de aire acondicionado o de ventilación industrial, se utilizan mucho este tipo de filtros. Algunas de las razones son: su bajo costo, la posibilidad de instalarlo sin modificar las estructuras existentes y la baja pérdida de carga que producen. El filtro de cavidad, con su capacidad de absorber vibraciones de bajas frecuencias, en un rango de frecuencia muy selectivo, hace que sea ideal para los sistemas de transporte de gases, donde las paletas de los ventiladores golpean el gas y generan ruido de tonos discretos en una banda de baja frecuencia. Este ruido, que se propaga en el interior del conducto, es irradiado en su extremo generando un zumbido molesto y en algunas circunstancias origina una vibración de toda la estructura. Tanto el estudio analítico como el diseño de estos filtros son diferentes para ondas propagantes y ondas estacionarias en el interior del tubo. En ambos casos el filtro provoca una atenuación en una estrecha banda de frecuencias alrededor de una frecuencia central que depende de las dimensiones del filtro.

En un conducto con ondas propagantes en su interior, el efecto de atenuación se describe por medio del coeficiente de transmisión, esto es, por el cociente entre las amplitudes de la onda, después y antes de que esta pase por el punto de inserción del filtro. El caso de un conducto con ondas estacionarias en su interior requiere de otro enfoque. En esta situación, para ciertas frecuencias, llamadas frecuencias de resonancias, se excitan sus modos naturales de oscilación, y la amplitud de la onda en su interior puede alcanzar valores muy grandes. Lo que se busca, en estas circunstancias, es que el filtro suprima algunos de estos modos naturales de oscilación.

En este trabajo estudiamos teórica y experimentalmente el efecto de filtrado que produce el RH tanto para ondas propagantes como para ondas estacionarias. En el primer caso se mide el coeficiente de transmisión y en el segundo las variaciones que produce el filtro en los modos normales de oscilación. En el Anexo 1 se explica brevemente el funcionamiento de un RH y se definen los parámetros acústicos relevantes de este dispositivo cuando es insertado en un tubo. En la sección 2 se reproduce la derivación del coeficiente de transmisión que realizan Reynolds (1981) y Kinsler et al (1982). En la sección 4 deducimos las variaciones en la amplitud de respuesta en función de la frecuencia que produce la inserción lateral del resonador en un tubo resonante. En la sección 5 se describe el diseño experimental y el material que hemos utilizado. En la sección 6  se presentan los resultados experimentales. y cómo estos se comparan con la teoría. Finalmente, en la sección 7 se formulan criterios para la elección de los parámetros del resonador que optimizan su funcionamiento como filtro de ondas propagantes o de ondas estacionarias.

 

2. Coeficiente de transmisión en un punto de bifurcación

Supongamos, como se muestra en la figura 1, que el tubo 0, de impedancia acústica  Z0,  se bifurca en dos: el  1 y el 2, que tienen impedancias acústicas Z1 y Z2, respectivamente. Si se propaga  una onda a lo largo del tubo principal es de esperar que se produzca una onda reflejada en el punto de derivación y dos ondas que se transmiten por las derivaciones. Un caso especial, (ver figura 2) es aquel en el cual una derivación (1 = b) de impedancia acústica arbitraria  Zb  se conecta en z = 0  a un tubo largo infinito de sección transversal  S  e impedancia acústica Z2 = Z0 = r0c/S.

En la figura2,  A  es la amplitud de la onda incidente  y  C  la amplitud de la onda que se transmite a lo largo del tubo principal. En este caso se tiene que el coeficiente de transmisión de potencia  (Kinsler et al, 1982) viene dado por:

    (1)

Vamos a suponer ahora que la derivación lateral del tubo es un RH como se muestra en la figura 3. Si el resonador es ideal toda la energía que absorbe el resonador es devuelta al interior del  tubo y por lo tanto la pérdida en la derivación sería nula (RH = 0). No obstante, si el diámetro del cuello del resonador es muy pequeño pueden existir pérdidas debido a las fuerzas viscosas que se oponen al movimiento del aire. Estas pérdidas son generalmente pequeñas. En nuestras experiencias se cumple que RH << r0c/S. Vamos a despreciar la resistencia de la bifurcación (Rb = RH) en el paréntesis del denominador de la ecuación (1) pero lo mantendremos en el denominador para no tener un valor cero del coeficiente de transmisión para la frecuencia que anule la reactancia (que es la frecuencia de resonancia del resonador).

Si reemplazamos en (1) la expresión (10) para la impedancia acústica del RH se obtiene la siguiente expresión para el coeficiente de transmisión:

                                                     (4)

donde

                                   (5)

En la ecuación (2) w0  es la frecuencia natural de oscilación del RH, r0 la densidad del aire,  SH y L  la sección y la longitud, respectivamente, del cuello de la botella.

El coeficiente de transmisión  en función de la frecuencia tiene el aspecto que se muestra en la figura  4. El mínimo de  T,  que se obtiene para  f = f0, es igual a  4r2. En esta frecuencia, en ausencia de pérdidas  r = 0  y  T = 0, porque toda la energía acústica que se transfiere de la onda incidente a la cavidad del resonador se devuelve al tubo principal pero con una relación de fase tal que vuelve hacia la fuente. Si definimos el ancho de banda en frecuencia  Df1/2   del filtro como el intervalo de frecuencias para el cual  T £ ½, entonces se puede mostrar que si  r << 1,

               (6)

Observemos que mientras más pequeños sean los valores de  r  y de  c  se obtendrá una mayor atenuación y un mayor ancho de banda en frecuencias del filtro respectivamente. Para  c = 1 y  f0 = 420 Hz, se tiene un ancho de banda   Df1/2  » 200 Hz.

 

3. Inserción del RH en un tubo con ondas estacionarias

En la deducción de la ecuación (2) se supone que, a la derecha del resonador solamente se tiene una onda que viaja de izquierda a derecha. Esto ocurrirá solamente si el tubo principal es un tubo infinito o con una terminación perfectamente absorbente. Supondremos ahora que el tubo que continúa a la derecha del resonador tiene una longitud finita y que termina con su extremo abierto como se muestra en la figura 3. En este sistema no se tendrán ondas propagantes como en la sección anterior sino ondas estacionarias. Para analizar el efecto del filtro se debe comparar el patrón de resonancias del sistema constituido por el tubo y el  resonador con el patrón de resonancias del mismo tubo sin el resonador.

Para encontrar el patrón de ondas estacionarias del dispositivo que se muestra en la figura 3 debemos calcular su impedancia de entrada. Recordemos que las frecuencias para las cuales la impedancia de entrada es cero (admitancia de entrada infinita) son las frecuencias de resonancia del sistema. Para calcular esta impedancia de entrada es conveniente reemplazar las porciones de tubo y el resonador por sus equivalentes eléctricos correspondientes.

En la figura 5 se muestra un circuito eléctrico equivalente del dispositivo que se muestra en la figura 3. Para calcular la impedancia del sistema en la entrada debemos calcular la impedancia en paralelo  Zp  entre la impedancia  Z1  del tubo de longitud  l1  que termina en una impedancia acústica  ZL  y el resonador Helmholtz que tiene una impedancia  ZH. Finalmente la impedancia de entrada  Ze  es la impedancia de un tubo de longitud  l2  que termina en una impedancia  Zp.

La impedancia  Z1  del tubo de longitud  l1  que termina en la impedancia  ZL  es

                                                    (7)


donde  Z0 = r0c/S es la impedancia acústica del tubo y  k = w/c   el número de onda.

La impedancia  Zp  del paralelo entre la impedancia  Z1  y la impedancia del resonador es

                                                                 (8)

La impedancia de entrada  Ze, es la impedancia de un tubo de longitud  l1  que termina en la impedancia  Zp, esto es:

                                                     (9)

Si reemplazamos (7) y (8) en (9) obtenemos:

                                     (10)

Si el extremo derecho del tubo está abierto y no tenemos en cuenta la impedancia de radiación,  ZL = 0 , entonces:

                                                       (11)

Reemplazando (11) en (10) obtenemos

                          (12)

Trabajando algebraicamente y utilizando identidades trigonométricas se obtiene:


                                           (13)

 


Si suponemos que la impedancia acústica del resonador es  ZH = RH + jXH, obtenemos finalmente

                           (14)

El módulo de la impedancia de entrada, o sea el módulo de la admitancia  Ye  viene dado por

                      (15)

donde

                                                       (16)

y  r  y  c  las constantes definidas en (5).

En la figura 6 se muestra una gráfica del módulo de la admitancia que se calculó con la ecuación (15) para un caso particular en el cual la frecuencia del RH es  fH = 400 Hz, c = 1, r = 0.1, l1 = 0.75 m y  l2 = 0.25 m. La curva en líneas punteadas, calculada teóricamente, es la gráfica de la admitancia de entrada del tubo sin resonador. Las frecuencias para las cuales esta admitancia es muy grande (idealmente infinito sino hay rozamiento ni radiación por sus extremos) son las frecuencias de resonancia del tubo que son: 170 Hz,  340 Hz,  510 Hz,  680 Hz, etc., suponiendo que la velocidad del sonido es de 340 m/s. En la figura 7 se observa que la inserción del resonador corre la primer resonancia de 170 Hz levemente hacia la izquierda y que la resonancia de 680 Hz  permanece inalterada. La resonancia de 510 Hz está levemente corrida hacia la derecha y con una amplitud muy disminuida. La resonancia de 340 Hz desapareció pero surgen, sin embargo, dos pequeños picos en  260 y 420 Hz. Estos dos picos tienden a infinito cuando la resistencia del resonador tiende a cero (r ® 0) y deben ser considerados por lo tanto como modos resonantes causados por la inserción del resonador.

En resumen, el filtro de 336 Hz  anula el modo de frecuencia 340 Hz, produce una disminución de la amplitud del modo de 510 Hz  y el surgimiento de dos modos resonantes adicionales de amplitudes relativamente pequeñas. En la sección  donde comparamos los valores medidos con los teóricos vamos a dar más detalles.

 

4. Descripción del equipo experimental

En la realización de este trabajo se utilizaron los siguientes elementos:

1.        Un tubo de PVC de 1m de longitud y 2,7 cm de diámetro. A este tubo se le han practicado tres orificios, a 0,25 cm, 0,50 cm  y 0,75 cm de uno de sus extremos, respectivamente para insertar el resonador Helmholtz y los micrófonos.

2.        Un parlante y un micrófono con buena respuesta en frecuencia.

3.        Una fuente de sonido de amplitud y frecuencia variable.

4.        Un amplificador de audio y un osciloscopio.

Salvo el tubo de PVC, el resto del equipo es de PASCO scientific â.

Se construyeron tres  RH: en el Apéndice 2 se describen las dimensiones y otras características de los tres resonadores que se han utilizado en este trabajo.

Para que en el tubo se tengan solamente ondas propagantes (y no ondas estacionarias) se debe colocar un absorbente del sonido en el extremo derecho del tubo. El absorbente que hemos utilizado es de lana de vidrio compacta de  30 cm de longitud: comienza con un diámetro igual al del tubo y gradualmente va disminuyendo (como en un cono) en la dirección en que se encuentra el parlante. La efectividad de esta terminación absorbente se comprobó midiendo la amplitud de respuesta cuando el sistema tubo + absorbente era excitado con una señal de amplitud constante y frecuencia variable. La amplitud de respuesta es relativamente independiente de la frecuencia, sin embargo, sus variaciones, aún cuando se mantienen menores que ± 3 dB, indicaban la existencia de ondas reflejadas que producían ondas estacionarias. 

5. Resultados experimentales

5.1. Coeficiente de transmisión

 

En las figuras 7 y 8 se muestran los coeficientes de transmisión que se obtuvieron con resonadores de frecuencia  fH = 720 ±. 10 Hz  y  410 ± 6 Hz, respectivamente. El aspecto general de las curvas de transmisión medidas coinciden con sus formas teóricas que se muestran en estas figuras como curvas punteadas. Las amplitudes transmitidas muestran, como era de esperar, una fuerte disminución en un entorno de la frecuencia del resonador. Se observa que las curvas experimentales tanto de la figura 7 como en la 8 se desvían apreciablemente de la curva teórica para frecuencias que están entre 450 y 550 Hz. En este intervalo las curvas experimentales muestran un pequeño máximo relativo. Este comportamiento de la amplitud medida puede ser ocasionada por la existencia de ondas estacionarias en el interior del tubo que se originan por el deficiente funcionamiento de la terminación absorbente. El dispositivo de forma cónica y de lana de vidrio que se utiliza como terminación “perfecta” debe tener, para su mejor funcionamiento, una longitud mayor que la mayor longitud de onda utilizada que en este trabajo es del orden de  1m (300 Hz). La terminación que utilizamos, sin embargo, no supera los 0,30 cm debido a la pequeña longitud de nuestro tubo de Kundt (1 m).

En la figura 7 se observa que el mínimo valor de T, es de aproximadamente -13 dB. De acuerdo a la teoría de la sección 3, el valor mínimo de  T  es  4r2. A partir de este valor medido concluimos que  r = RH/Z0 » 0.11. El ancho de banda en frecuencia  Df1/2 , que se mide a partir de la curva experimental, de acuerdo a la definición de la sección 3, es de aproximadamente 175 Hz. Como  Df1/2  »  fH/2c, obtenemos que  c » 2. La medición del coeficiente de transmisión nos permite determinar la resistencia RH y la constante  c  del resonador. El valor de  c  que se calcula a partir de la frecuencia del resonador y de sus dimensiones (resonador B, ver Apéndice 2) es del orden de 1.8 , valor que se compara muy bien con el que se estima experimentalmente a partir de la figura 7.

En la figura 8 se muestra una gráfica del coeficiente de transmisión para un resonador (resonador A, ver apéndice)  cuya frecuencia de resonancia es de 420 ± 10 Hz . De acuerdo al mínimo valor de  T  y del ancho de banda en frecuencia de esta curva se obtiene que   r = RH/Z0 » 0.8   y  c » 1.2. Observemos que el valor de  c  que se calcula teóricamente para este resonador en el Apéndice 2 es del mismo orden que el que se determina experimentalmente a partir de la figura 8.

 

5.2. El filtro Helmholtz en un tubo resonante.

En esta sección describiremos los resultados que se obtienen cuando el sistema está dispuesto como se muestra esquemáticamente en la figura 3. Como el tubo está abierto a la derecha se formarán ondas estacionarias con o sin la presencia del resonador. En ambos casos, con o sin resonador, las mediciones de la amplitud de respuesta se realizan con el parlante ubicado en el extremo izquierdo y el micrófono en el orificio situado a la derecha del resonador.

 

 

 

 

 

 

Figura 9. Valores medidos de la amplitud de respuesta del tubo en función de la frecuencia. En líneas punteadas sin el resonador y en líneas llenas con el resonador.

 

 

 

 

En la figura 9 se muestra, en líneas llenas, los valores medidos de la amplitud de respuesta, con el resonador insertado en el tubo y en línea punteada la amplitud de respuesta sin el resonador. Los parámetros del resonador (resonador C, ver Apéndice 2) son  fH = 336 Hz,  r = 0.1  , c = 1.6 . La frecuencia del resonador es muy próxima de la segunda resonancia del tubo (340 Hz). Observemos que después de colocar el resonador esta resonancia desaparece, mientras que la frecuencia de la primera resonancia (170 Hz) se corre hacia la izquierda en aproximadamente 10 Hz. La tercera resonancia (no mostrada en la figura) se corre en la misma cantidad hacia la derecha. Tanto la primera como la tercera resonancia disminuyen su amplitud en un factor de 0.6 (~ - 5 dB).


 

Un hecho notable es la aparición de dos pequeños picos en aproximadamente 295 y 400 Hz respectivamente, o sea en  ± 60 Hz a uno y otro lado de la frecuencia (340 Hz) del resonador.

Es interesante comparar estas curvas experimentales con las curvas teóricas que se obtienen con la teoría desarrollada en la sección 3. La curva de la figura 10 en línea punteada, muestra las amplitud de respuesta teórica en ausencia de resonador y la curva en línea  llena, la admitancia del tubo en presencia del resonador. Esta última curva se calcula mediante la ecuación (15) para los parámetros del resonador C. La curva teórica refleja satisfactoriamente el comportamiento de la curva experimental: desaparece la segunda resonancia, la primera resonancia disminuye su amplitud y se corre hacia la izquierda y aparecen dos pequeños picos a uno y otro lado de la segunda resonancia. En los cálculos teóricos estos dos picos están corridos aproximadamente a ± 80 Hz de la frecuencia del resonador (los valores medidos para estos corrimientos son de ± 60 Hz y la frecuencia de la primera resonancia se corre 20 Hz hacia la izquierda (el valor medido es de 10 Hz).

Los cálculos teóricos permiten confirmar que los dos pequeños picos en 295 y 400 Hz, respectivamente, son frecuencias de resonancia del sistema tubo + resonador. En efecto si hacemos r = 0, (RH = 0) la admitancia teórica se hace infinita en estas frecuencias. Si la resistencia del resonador es muy pequeña (r £ 0.01) estas resonancias tienen amplitudes muy grandes y el “filtro” en lugar de eliminar un modo resonante introduciría dos, lo que podría significar en ciertas situaciones un comportamiento no deseado.

En la figura 11 se muestra, en líneas llenas, la amplitud de respuesta en función de la frecuencia cuando se inserta en el tubo un resonador de 420 ± 10 Hz (resonador A). En esta situación se observa que la segunda resonancia desaparece totalmente mientras que la tercera de 510 Hz se  corre hacia la derecha y su amplitud disminuye fuertemente. La primera resonancia se corre levemente hacia

la izquierda y la quinta queda prácticamente sin variaciones en amplitud y frecuencia. Se observa igualmente la aparición de dos pequeños picos en 300 Hz  y  430Hz.


La curva en líneas llenas de la figura 12 es la gráfica de la admitancia de entrada del sistema compuesto por el tubo y el resonador que se calcula con la ecuación (15) de la sección 3, para un resonador cuyos parámetros son: fH = 420 ± 10 Hz, r = 0.8  y  c = 1.2 . Observamos otra vez un buen acuerdo entre la curva teórica de la figura 13 y la que se obtiene experimentalmente (figura 11).

 


6. Conclusiones

El coeficiente de transmisión que se mide experimentalmente concuerda razonablemente bien con la curva teórica como se observa en las figuras (7) y (8). La forma de estas curvas depende de los parámetros  r  y  c  del  RH. El mínimo valor de  T  es igual a  Tm = 4r2 y el ancho de banda en frecuencia de la misma es  Df1/2  = fH/2c , donde  Df1/2   es el entorno de frecuencias alrededor de  fH  en el cual el módulo de  T  es menor o igual a 1/2. Un criterio de bondad para este tipo de filtro es que  Tm ® 0  (máxima atenuación) y que  Df1/2 /fH >>1 (gran ancho de banda).

La resistencia del resonador puede hacerse muy pequeña si el diámetro del cuello del resonador es relativamente grande. Con esto se logra que la energía que disipa en un ciclo por la acción de las fuerzas viscosas se mantengan pequeñas respecto de la energía cinética de la masa de aire en movimiento.

A partir de la expresión para el ancho de banda del filtro se deduce que se puede obtener una reducción sustancial de la onda transmitida, sobre un rango de frecuencia que se extiende por más de una octava a uno y otro lado de la frecuencia de resonacia  fH , si  c £ 1/2 , esto es si

Es un hecho notable que esta condición dependa solamente de las características geométricas del resonador y del diámetro del conducto.

Cuando se utiliza un RH como filtro de ondas estacionarias su propósito, en general, es el de eliminar uno o varios de los picos de resonancia en el interior del conducto. Este objetivo se logra eligiendo un resonador Helmholtz cuya frecuencia  fH  coincida o esté próxima con las frecuencias de los modos que se desean eliminar. En este caso el comportamiento del filtro es más eficiente cuando mayor es su resistencia. Si la resistencia del filtro es muy pequeña, y su frecuencia coincide exactamente con la frecuencia de uno de los modos de oscilación del conducto, se elimina este modo pero aparecen dos modos adicionales que se originan por la inserción del filtro. La amplitud de estos modos dependen fuertemente de la resistencia acústica del resonador  RH. De acuerdo a nuestros resultados teóricos, confirmados por nuestras mediciones, los niveles de estos modos espúreos se mantienen relativamente pequeños si

donde  Z0  es la impedancia acústica del conducto. En esta situación el filtro no solamente elimina al modo que está próximo a su frecuencia de resonancia sino que también disminuye la amplitud de los modos vecinos como se observa en la figura 11. Observemos que el parámetro RH/Z0 juega un papel principal y a su vez antagónico según se use para "filtrar" ondas estacionarias o propagantes.

 

 

Referencias

Kinsler, Frey, Coppens y Sanders, Fundamentals of Acoustics, tercera edición (John Wiley & Sons, 1982), Capítulos 9 y 10.

Reynolds, Engineering Principles of Acoustics Noise and Vibration Control, (Allyn & Bacon, 1981), Capítulo 9.

 

Apéndice 1

El resonador Helmholtz

El RH consiste de una cavidad de paredes rígidas de volumen  V  con un cuello de área  S  y longitud  L (ver figura A1a) . Si  l>>L, el fluido en el cuello se mueve como una unidad y se comporta como el elemento masa de un oscilador a resorte. Si  l >> V1/3, la presión acústica dentro de la cavidad proporciona el elemento elástico de este oscilador (ver figura A1b). Si  l>>S1/2, la abertura irradia sonido como lo hace una fuente simple dando lugar al elemento resistencia. Un término resistivo adicional se debe a las pérdidas viscosas en el cuello.

 

Figura  A1. Un oscilador acústico. Un cálculo aproximado de la frecuencia supone que el aire en el cuello oscila mientras que el aire en el bulbo tiene un comportamiento similar a un resorte.

 

Vamos a analizar al resonador de Helmholtz calculando los valores del sistema mecánico análogo.

a)      Masa del oscilador: el fluido en el cuello tiene una masa efectiva total

m = r0SL.                                                               (A1)

b)      Elasticidad del oscilador. Para determinar la elasticidad del oscilador, suponemos que la masa del cuello se desplaza hacia fuera una distancia  x. El volumen de la cavidad cambia en  DV = - Sx, dando lugar a una variación en la densidad de Dr/r = - DV/V = Sx/V. El incremento de la presión (en la aproximación acústica) es

La fuerza que se requiere para obtener este desplazamiento es  f = pS = (r0c2S2/V)x  y la “constante elástica” del oscilador es

                                                           (A2)

c)      Resistencia del oscilador. Si el fluido que se mueve en el cuello irradia sonido al medio ambiente como un tubo con su extremo abierto, entonces para  l>>a  la resistencia de radiación del RH (Kinsler et al, 1982) viene dado por:

                                                                (A3)

d)      Fuerza excitadora. La fuerza excitadora instantánea que produce una onda sonora de amplitud  p  que incide sobre el resonador es

f = Spejwt                                                                  (A4)

 

La ecuación diferencial para el desplazamiento  x  del fluido en el interior del cuello del resonador es

                                        (A5)

Puesto que la ecuación es idéntica a la de un oscilador forzado, su solución puede obtenerse por analogía. En particular la impedancia mecánica del RH es

                     (A6)

La frecuencia de resonancia tiene lugar cuando la reactancia  Xm  es cero:

                                                      (A7)

En términos de  w0  la reactancia mecánica del oscilador es:

                             (A8)

La impedancia acústica del resonador  Za  está relacionada con su impedancia mecánica a través de la relación: , Za = p/U = (f/S)/(uS) = (1/S2)Zm, esto es:

                                                                     (A9)

donde  S  es la sección del cuello de la botella. Reemplazando  Rm  y  Xm  en esta ecuación, obtenemos la siguiente expresión para la impedancia acústica   ZH  del RH:

                                         (A10)

En estas expresiones utilizamos el subíndice  H  para diferenciar de otras impedancias acústicas y secciones que se introducirán más adelante. En la expresión para la resistencia   solamente se tomó en cuenta la resistencia debida a la radiación. En un resonador que actúa como filtro es más importante la contribución a la resistencia que se debe a las pérdidas viscosas en el cuello. No se tienen expresiones analíticas para esta resistencia. Sin embargo, se la puede medir experimentalmente (sección 5).

La reactancia  XH  del RH de acuerdo a la ecuación (A10) viene dada por

                                              (A11)

La impedancia acústica del tubo donde se inserta el  RH  es

                                                            (A12)

La reactancia del RH puede escribirse, por lo tanto, de la forma

 

                                                (A13)

donde

c = (r0Lw0/SH)/(r0c/S0) =                         (A14)

 

 

 

Apéndice 2

Parámetros de los RH que se usaron en este trabajo

 

Los RH  se insertaron en un tubo de PVC de radio  r0 = 1,35 cm, S0 = 0,00057 m2

 

 

1. Datos del resonador  A (395 – 402 Hz)

L = 0.02 m

SH = 0,000064 m2

V » 15 cm3

fH » 395 - 402 Hz,   c = 340 m/s,  

c » 1.3

 

 

2. Datos del resonador  B  (657 – 662 Hz)

L = 0.015 m

SH = 0,000050 m2

V » 0,000009m3

fH » 657-662 Hz,   c = 340 m/s,

c » 1.8 – 1.9

 

 

3. Datos del resonador C  (337 – 347 Hz)

L = 0.046 m

SH = 0,000050 m2

V » 0,000027 m3

fH » 337 - 347 Hz,   c = 340 m/s 

c » 1.6