Artículo 1 Resumen

Artículo 1 Completo

 

SOLUCIONES RALAS DE SISTEMAS LINEALES INDETERMINADOS

 

Fernando Guspí y Beatriz Introcaso

 

Departamento de Matemática FCEIA y Grupo Geofísica IFIR

 


RESUMEN:

Los sistemas indeterminados de ecuaciones lineales aparecen en problemas donde la información que se dispone para resolverlos es incompleta. En la necesidad de encontrar soluciones que puedan caracterizarse como más representativas de acuerdo a algún determinado criterio, se hace uso de la estadística Bayesiana, incorporando información a priori de manera de minimizar alguna norma. En particular, la norma de Cauchy produce soluciones ralas, es decir, soluciones donde pocas incógnitas toman valores significativos, y las restantes están próximas a cero. El correspondiente algoritmo conduce a sistemas no lineales que se resuelven iterativamente. Se muestra que sistemas con matrices mal condicionadas, como la de Hilbert, pueden producir soluciones con pocas componentes significativas, y en una aplicación geofísica, a partir del efecto gravimétrico de un cuerpo de sección rectangular, se construye una fuente equivalente rala, en la cual la masa está concentrada en sólo dos puntos.

 

 

ABSTRACT:  

Underdetermined systems of linear equations occur in problems where the available information to solve them is incomplete. The necessity of finding solutions that can be regarded as more representative, according to a given criterion, leads to the application of Bayesian statistics, which incorporates a priori information in order to minimise chosen norms. In particular, the Cauchy norm produces sparse solutions, that is, solutions where few unknowns take significant values, the remaining ones being close to zero. The corresponding algorithm leads to non-linear systems which are solved iteratively. It is shown that systems with ill-conditioned matrices, such as Hilbert matrix, are able to yield solutions with few significant components, and in a geophysical application, a sparse equivalent source is constructed from the gravity effect of 2D rectangular body, with all the mass concentrated over two single points.