BOND GRAPH MODELING AND SIMULATION OF ELECTRICAL MACHINES

1 INTRODUCCION

El método Bond Graph es un enfoque de modelización unificado para los diferentes dominios físicos, que explota y exhibe la estructura física de intercambio de potencia en el sistema. A la par de conservar esta importante propiedad, el método permite codificar en el modelo la estructura matemática que muestra las interrelaciones causales entre las señales en el sistema (Karnopp and Rosenberg, 1983), lo cual facilita la derivación algorítmica de modelos matemáticos y computacionales directamente de los BG. La posibilidad de encapsular modelos BG y conectarlos a otros a través de puertos externos permite desarrollar una estrategia de modelado jerárquica y orientada a objetos, lo cual convierte al método en una herramienta valiosa para la representación y manipulación de sistemas complejos (Cellier, 1992). Estas propiedades motivan el interés en desarrollar modelos BG de máquinas eléctricas. Si bien el método BG no está muy difundido en el área de la Ingeniería Eléctrica, a la existencia de algunos artículos históricos (Sahm, 1979; Sirivadhna et al., 1983; Karnopp, 1991) se suma una tendencia creciente de publicaciones en ese campo (Cellier and Granda, 1993 / 95 / 97 / 99).

Aquí se presentan modelos BG de la MI trifásica simétrica, desarrollados para un marco arbitrario o genérico de referencia (Krause et al., 1995), y luego particularizados a los marcos estacionario (estatórico) y orientado con el campo rotórico (Leonhard, 1985). A fin de vincular estos marcos y el de bornes de la máquina, y modelar así la alimentación con una fuente trifásica, se agregan los BG de dos transformaciones conservadoras de potencia. En primer lugar se formulan BG de potencia real a variables escalares y vectoriales. Luego se introduce el concepto de BG de potencia instantánea compleja de manera ad-hoc sobre un nuevo modelo de la MI. Realizando un análisis directamente sobre el BG se determinan propiedades fundamentales de la máquina y se introducen los conceptos de potencia y cupla virtuales. Luego, vía un breve análisis de Lyapunov, conducido también directamente sobre el BG, se muestra una propiedad de pasividad entrada-salida de la MI. Se espera que la utilidad de los modelos y la potencialidad de los resultados sirva para atraer la atención sobre los BG de las comunidades de Ingeniería Eléctrica y de Control.

En la Sección 2 se presentan BG a variables escalares y vectoriales de potencia real. En la Sección 3 sigue el modelo de potencia compleja. La Sección 4 presenta el análisis energético y de Lyapunov, y se establece la propiedad de pasividad. En la Sección 5 se extraen conclusiones, intrínsecamente y en relación con otros resultados de la literatura sobre (control de) máquinas de inducción.

2 BOND GRAPHS DE POTENCIA REAL

2.1 Modelo Eléctrico

El circuito equivalente de la Fig. 1 corresponde a las ecuaciones de mallas (1) y magnéticas (2) de estator y rotor. La Ec. (3) representa la dinámica mecánica del rotor, ver notación en el Apéndice. Este modelo (Krause et al., 1995) representa a la MI vista desde un marco de referencia arbitrario (con ejes d y q) rotando en torno a su origen a una velocidad angular w_F(t) = dr_F/dt , donde r_F(t) es la posición angular (eje d) del par ortogonal d-q. Además de los términos usuales en ecuaciones de circuitos acoplados magnéticamente, aparecen otros, representando a las tensiones de rotación, debidas a las velocidades relativas entre el estator y el rotor, por una parte, y el marco de referencia por la otra.

Fig. 1 Circuito equivalente del MI. Marco de referencia arbitrario.

El modelo precedente se vincula con las variables de bornes (R, S, T) de la MI vía dos transformaciones: la primera (Ec. 4) vincula a estas últimas con un sistema trifásico ortogonal equivalente (a, b, o) fijo con el estator; la segunda (Ec. 5) vincula al (a, b, o) con el sistema (d, q, o) de las Ecs. (1) y (2). En ambos casos se escogieron transformaciones unitarias que conservan la potencia -sus inversas son iguales a sus transpuestas-, propiedad exigida por el formalismo BG para representarlas mediante transformadores (Karnopp and Rosenberg, 1983). La variable f en las Ecs. (4) y (5) representa tanto tensión como corriente o flujo magnético.

(1)

(2)

; (3)

(4)

(5)

2.2 Bond Graphs a Variables Escalares

Marco de Referencia Arbitrario: Con el método usual (Karnopp and Rosenberg, 1983) se construye el BG de la Fig. 2 a partir del circuito equivalente de la Fig. 1. Las fuentes moduladas computan las tensiones de rotación debidas a la velocidad w_F del marco de referencia como el producto de los flujos concatenados l_{d,q / s,r} (según corresponda) por w_F. Análogamente, los giradores modulados computan -en un sentido causal de actuación- las tensiones de rotación debidas a la velocidad del rotor, y en el otro, el torque electromagnético según la Ec. (3).

Fig. 2 BG escalar del MI. Marco de referencia arbitrario.

Sendos subsistemas al pie de las Figs. (1) y (2) se designan Sub-Circuito y Sub-Grafo Homopolar, respectivamente, ya que representan a las variables homopolares ƒ₀. De ahora en más este subsistema se eliminará de los BG (excepto aclaración en contrario), ya que se tratará la MI con arrollamientos trifásicos conectados en estrella y con neutro aislado, lo que implica que no hay potencia asociada con el submodelo. Esto equivale a eliminar terceras fila y columna en la matriz de la Ec. (5).

Con un campo de almacenadores (I-field) se modelan más compactamente los fenómenos magnéticos en estator y rotor. Así se hace en la (Fig. 3), donde todas las inductancias se incorporan en el (I-field), descripto por la matriz de inercia (inductancia) L₁ de la Ec. (6). Las inductancias de dispersión de rotor y estator han sido concentradas con la inductancia mutua en la expresión de cada malla del circuito e incluídas en el campo (Þ L_S, L_r en la diagonal de la matriz).

Fig. 3 BG escalar, compacto del MI. Marco arbitrario.

Marco de Referencia Estacionario: La Fig. 4 es el modelo BG en las coordenadas (a,b) -por algunos autores notado también como modelo (x,y) o (a-b). Se obtiene del anterior mediante la simple imposición de r_F(t) º 0 (Þ w_Fº 0), i.e., fijando el eje d del marco de referencia al eje a del estator. La matriz de inercia es L = L₁ como en Ec. (6).

Fig. 4 BG escalar del MI. Marco estacionario.

(6)

2.3 Bond Graphs Vectoriales

Marco de Referencia Arbitrario: La introducción del I-field en la Subsección anterior es un primer paso para la formulación de los modelos vectoriales. Agregando los elementos análogos tanto en estator como en rotor (parte eléctrica) en los campos correspondientes (campos de fuentes, disipadores, fuentes moduladas, y giradores modulados; y sendos campos estructurales para los vínculos tipo 1) (Karnopp and Rosenberg, 1983), se construye el BG de la Fig. 5. Cada uno de los bonds o enlaces de potencia marcados con doble línea tiene asociadas un par de variables de potencia (esfuerzo º tensión, flujo º corriente). Las variables y parámetros en negrita son vectores o matrices, respectivamente. La notación es la siguiente: R_s= diag(R_s , R_s); R_r= diag(R_r , R_r); L_ls= diag(L_ls, L_ls); L_lr= diag(L_lr, L_lr) ; V_s=[v_ds , v_qs] ; i_s=[i_ds , i_qs] ; i_r=[i_dr , i_qr] ; l_s=[l_ds , l_qs] ; l_r=[l_dr , l_qr]. La matriz de inductancia es L₁ como en la Fig. 3. Multiplicado por w, el módulo M(l_r) del girador (definido en la Ec. (7), donde J₂ representa la matriz antisimétrica 2x2) determina la f.c.e.m. o tensión de rotación e impuesta al rotor; transpuesto y premultiplicando al vector de corrientes rotóricas i_r determina el torque electromagnético (Ecs. 9). Los vectores de las tensiones de rotación debidas a la velocidad del marco de referencia son computados por sendas fuentes moduladas como el producto del correspondiente vector de flujos rotado (J₂ l) por la velocidad w_F. A cada unión o campo estructural tipo 1 de la Fig. 5 le corresponde una de las leyes de Kirchhoff generalizadas de la Ec. (8).

Fig. 5 BG vectorial del MI. Campo I-field concentrado.

J₂ = ; M(l_r) = n_p J₂ l_r (7)

V_S= R_S i_S + (d/dt) l_S + w_F J₂ l_S |

0 = R_r i_r + (d/dt) l_r + w_F J₂ l_r - e | (8)

where

e = M(l_r) w = n_p J₂ l_r w

t = M^T(l_r) i_r = [n_p J₂ l_r ]^T i_r (9)

Discriminando el I-field en un campo de inductancias mutuas y dos de dispersión, se formula el BG de la Fig. 6, que enfatiza la división del modelo completo en tres subsistemas (estator, rotor y mecánico) interactuando a través de los campos de acoplamiento correspondientes (Krause et al., 1995). La matriz de inercia L₂ es dada ahora en la Ec. (10).

(10)

Fig. 6 BG vectorial del MI. I-field disociado.

2.4 Bond Graph Jerárquico

Orientación con el Campo Rotórico: En la Fig. 7 se brinda una implementación en un marco orientado con el vector del flujo concatenado por el rotor (Leonhard, 1985). Es un BG jerárquico donde el módulo MI encapsula a cualquiera de los BG de las Figs. 2/3/5 (¡conservando el SubGrafo Homopolar para aparear las dimensiones de los enlaces adyacentes a los TF !), aumentado internamente con un diagrama de bloques que computa la velocidad de la onda de flujo rotórico usando la Ec. (11), la cual, integrada, produce la posición angular del marco de referencia. Con enlaces vectoriales y sendos transformadores (TF y MTF) modulados por las matrices de las Ecs. (4) y (5), se acopla este modelo d-q a la fuente en bornes (R,S,T) del MI.

(11)

Fig. 7 BG vectorial-jerárquico orientado con el campo rotórico

3 BOND GRAPH DE POTENCIA COMPLEJA

3.1 Modelo Eléctrico

Todas las variables eléctricas y magnéticas de rotor y estator se definen ahora como vectores complejos yaciendo en el plano magnético de la máquina, perpendicular a su eje de rotación (Fig. 8). Estas magnitudes representan a las respectivas distribuciones espaciales senoidales, de acuerdo a la teoría de vectores espaciales de las máquinas eléctricas (Kovács, 1994). Las variables mecánicas () se definen como vectores reales (segmentos orientados) según el eje de rotación (en la notación se elimina la flecha para indicar sus módulos). El producto vectorial de cualquier par de estas variables se indica con "". Con esta notación, el circuito equivalente de la Fig. 1 se simplifica según la Fig. 9. Una magnitud genérica representa una variable compleja (tanto tensión como corriente o flujo) con sus componentes según los ejes d y q del marco de referencia como sus partes real e imaginaria, respectivamente. Las (12) son las correspondientes ecuaciones de mallas y mecánica (la cual escrita escalarmente es la ya vista Ec. 2). En la Ec. (13) se calculan la f.c.e.m. y la cupla electromagnética.

Fig. 8 El eje de rotación y el plano magnético de la máquina.

Fig. 9 Circuito equivalente de la MI con variables complejas

(12)

(13)

3.2 Bond Graph Complejo

Con el procedimiento básico de modelado se obtiene el modelo BG de la Fig. 10. A los enlaces en negrita se asocia potencia compleja instantánea. Los enlaces en la parte mecánica manejan exclusivamente potencia real.

Fig. 10 BG Complejo del MI.

La potencia compleja se define como el producto de la tensión compleja por el conjugado de la corriente compleja. La potencia real mecánica es el producto escalar de los vectores cupla y velocidad. El acople entre los subsistemas eléctrico y mecánico lo hace el girador modulado, cuyo módulo n_popera vía producto vectorial: premultiplicando a produce la f.c.e.m., y posmultiplicando a la corriente rotórica arroja genera la cupla , según indica la Ec. (13). Pre- y pos multiplicar en este caso equivale a la transposición de módulo de la Ec. (9), válida para el BG vectorial de la Fig. 5. La equivalencia de la Ec. (14) (ver Fig. 8) es consecuencia inmediata del isomorfismo entre la unidad imaginaria j y la matriz antisimétrica unitaria J₂ de Ec. (9) (ambas producen una rotación antihoraria de 90° en los vectores, j operando en c y J₂ en R²). La matriz de inercia de la Ec. (15) es más simple que la de Ec. (6) porque en el modelo complejo todas las variables electromagnéticas son escalares. Por lo tanto el BG Complejo resulta aún más simple que los Vectoriales Reales de la Sección precedente.

(14)

(15)

4 ANALISIS

4.1 Balance de Potencia

Potencia Virtual: Se mostrará que es nula la contribución neta al balance de potencia de las fuentes moduladas del BG de Fig. 5. En el cálculo que sigue se suman las potencias P₃ y P₇ asociadas a los enlaces #3 and #7 del BG. Cada una de ellas es definida como el producto escalar P = v^T. i , donde v e i son los vectores reales de tensión y corriente asociados con cada enlace.

P₃ = (w_F J₂ l_s )^T i_s = w_F l_s^T J₂^T i_s

= - w_F l_s^T J₂ i_s (16)

Analógamente:

P₇ = - w_F l_r^T J₂ i_r (17)

Definiendo las magnitudes t_s y t_r como:

t_s := l_s^T J₂ i_s (18)

t_r := l_r^T J₂ i_r (19)

y usando en (16), (17) las Ecs. (2), compactamente escritas como l_s=L_s i_s+ L_m i_r y l_r= L_r i_r + L_m i_s ; y la propiedad de la matriz antisimétrica J₂^T = - J₂ , se obtiene:

t_s = L_m i_r^T J₂ i_s = - L_m i_s^T J₂ i_r = - t_r (20)

probándose así que la potencia neta P_MSe contribuida al sistema por las fuentes moduladas es nula, lo cual motiva la caracterización de cada sumando como Potencia Virtual:

P_MSe := - (P₃ + P₇)º 0 (21)

Observación 1: Interpretación de la Ec. (21). Las fuentes moduladas no hacen ninguna contribución neta al balance de potencia porque ellas son una simple consecuencia matemática de modelar la máquina desde un marco de referencia arbitrario. Nótese que desaparecen en el modelo referido al marco de referencia estacionario, fijo al estator.

Cupla Virtual: Las magnitudes t_r y t_s en Ecs. (18), (19) tienen la dimensión de cupla. Tanto rotor como estator giran a la velocidad angular w_F respecto del marco de referencia, de manera que t_s and t_r pueden interpretarse como las cuplas necesarias para forzar esta velocidad relativa introducida artificialmente. Consecuentemente se define a t_s yt_r como cuplas virtuales.

Observación 2: Reemplazando las Ecs. (2) en (9) se expresa la cupla electromagnética en términos de magnitudes estatóricas y se establece una relación análoga a la (20): t = - [n_p J₂ l_s ]^T i_s = [n_p J₂ l_r ]^T i_r. No obstante esto no implica cancelación de potencia en general: La cancelación de potencia mostrada obedece a (20) y al hecho de que ambas cuplas virtuales son multiplicadas por la misma velocidad w_F. La cupla electromagnética en cambio forma potencia vía su producto con la correspondiente velocidad absoluta del estator o del rotor. En este trabajo se consideró estator fijo, pero aún en el caso de tratarse estator móvil, la única situación en que la potencia se cancela es la de igualdad de velocidades de estator y rotor, i.e., el bien conocido caso de no deslizamiento entre ambos, en el cual cada contribución de potencia es nula, al igual que cada torque real.

4.2 Análisis de Lyapunov

El método directo de Lyapunov puede aplicarse directamente sobre el BG sin necesidad de escribir las ecuaciones de estado del sistema (Junco, 1993). Sea H(t) la energía en los almacenadores del BG de la Fig. 5. Fácilmente se comprueba que H(t) es una función definida positiva de los estados del MI, p. ej. de las corrientes estátoricas y rotóricas, y de la velocidad. La derivada orbital puede computarse directamente sobre el BG como la suma de las potencias en los enlaces de los almacenadores:

(d/dt)H(t) = P₄ + P₅ + P₁₁

= (P₁- P₂- P₃)+ (- P₆- P₇- P₈)+ (P₉- P₁₀- P₁₂)

Ambas, la diferencia (P₉- P₈) y la suma (P₃+P₇) son nulas, debido a la propiedad de conservación de potencia del girador modulado y a la suma de potencias virtuales, respectivamente, por lo que valen las Ecs. (22) y (23):

(P₉- P₈) -(P₃+ P₇)= 0 (22)

(d/dt)H(t) = P₁- P₂- P₆- P₁₀- P₁₂ (23)

donde P₂ , P₆ , y P₁₀ son

P₂ = R_S || i_S||²; P₆ = R_r || i_r||²; P₁₀ = b w ² (24)

con ||·|| denotando la norma Euclidea.

Con entradas nulas (tensiones estatóricas y torque de carga) se tiene P₁= P₁₂= 0, derivada orbital definida negativa -como muestran (23), (24)-, y H(t) misma función de Lyapunov, lo que permite concluir que el origen del espacio de estados es estable asintóticamente.

4.3 Pasividad

Un sistema dinámico se dice pasivo si para todo intervalo temporal, toda condición inicial, y toda entrada, la energía total aportada por ésta es mayor que la energía almacenada en el sistema en el intervalo (Willems, 1972). El MI en vacío define un mapa externo pasivo entre las tensiones y las corrientes de estator (Ortega and Espinosa 1993; Ortega et al. 1993). Esta propiedad, que puede probarse muy simplemente usando el resultado de estabilidad precedente, es una consecuencia inmediata del carácter virtual de la potencia de las fuentes moduladas (v. Observación 1).

Pasividad: Debe probarse la desigualdad (25) para torque de carga nulo.

(25)

Incorporando la condición de marcha en vacío (P₁₂= 0) a la Ec. (23), reemplazando la expresión de las potencias según (24), e integrando ambos miembros de la ecuación resultante, se tiene la Ec. (26).

(26)

donde R es la siguiente matriz definida positiva:

R = diag (R_S, R_s, R_S, R_s, b) (27)

y f es el vector de las variables de estado:

De (26) y (27) es inmediata la propiedad de pasividad expresada por la Ec. (25).

Observación 3: La simplicidad de las demostraciones precedentes deriva del hecho de que se estan tratando propiedades energéticas del sistema, que son precisamente las que fundamentan el lenguaje Bond Graph. En (Ortega and Espinosa 1993; Ortega et al., 1993) se establece la propiedad de pasividad analizando un modelo derivado de las ecuaciones de Euler-Lagrange (E-L) del MI, formulado también en un marco de referencia arbitrario. Allí se deriva una ley no singular de control de torque en base a la condición de antisimetría de la matriz C del modelo (E-L), la cual es equivalente a la propiedad de cancelación de potencias de la Ec. (22). En aquel artículo ésto motiva la designación de los términos del modelo asociados a la matriz C como formados por fuerzas pasivas (workless forces, que no hacen trabajo), lo cual se corresponde sólo parcialmente con el concepto de cuplas virtuales introducido aquí, ya que el torque electromagnético es parte de esos términos, y no es virtual sino real. La cancelación de potencia asociada con el torque electromagnético es mejor explicada por la propiedad de conservación de potencia del girador modulado del modelo BG.

5 CONCLUSIONES

Se presentó una colección de modelos BG de potencia real a variables escalares y vectoriales del MI trifásico simétrico. Se extendió el formalismo al manejo de potencia compleja instantánea, con lo cual se presentó un BG muy simple y compacto, que subsume en él el modelo derivable de la teoría de vectores espaciales de las máquinas eléctricas. Si bien los resultados no se incluyeron aquí debido a limitaciones de espacio, la aplicación de estas técnicas al modelado de otras máquinas y sistemas eléctricos es inmediata. Simples consideraciones sobre el modelo BG permitieron establecer propiedades de balance energético decisivas para la estabilidad interna (Lyapunov) y externa (Pasividad) del MI.

La libre configurabilidad para representar al MI en marcos de referencia arbitrarios, la constructibilidad de BG jerárquicos mediante encapsulamiento con la consiguiente conectabilidad a otros modelos, junto a la facilidad de extracción de propiedades sistémicas en base a propiedades físicas de la planta (conservadas en el BG), hace de estos modelos una herramienta útil no sólo para la simulación sino también para analizar y sintetizar sistemas de control de las máquinas.

REFERENCIAS

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Willems, J. C. 1972: "Dissipative Dynamical Systems. Part I: General Theory". Arch. Rational Mechanics and Analysis, vol 45 (Nr. 5): pp321-351.

APENDICE: Notación

: componentes R, S, T de la tensión de alimentación trifásica estatórica.