Figura 2. Diagrama de bloques de un extractor de valor eficaz por el método implícito

2. ANÁLISIS DEL FUNCIONAMIENTO DEL AD536

El circuito integrado AD536 materializa la idea del cálculo implícito expuesta anteriormente. En la figura 3 se muestra un diagrama esquemático de su circuitería interna. Por razones de simplicidad se ha omitido el detalle de la implementación de los amplificadores operacionales.

El circuito está constituido por tres bloques principales. El bloque central es el cuadrador/divisor de un cuadrante, que recibe señales de entrada de corriente, i₁ e i₃ y proporciona una señal de salida también de corriente, i₄. Debido a que la señal de entrada es, generalmente, de doble polaridad, se intercala un bloque rectificador de onda completa o absolutador, que sin alterar el cuadrado, lleva la señal a una polaridad única. Este rectificador, además, convierte la tensión de entrada v₁ en la corriente i₁. El tercer bloque es un espejo de corriente, que tiene por finalidad acomodar el sentido de circulación de la corriente de salida i₄ (que será proporcional al valor eficaz) al requerido por la entrada i₃ de modo de efectivizar la realimentación mostrada en la figura 2.

Analicemos ahora cada bloque con mayor detalle. Si aplicamos una tensión v₁ > 0 a la entrada (terminal 1), el transistor Q_R se cortará, de modo que al nudo sumador (terminal inversor) del amplificador A₂ ingresará sólo la corriente de la resistencia R₄, y esta misma corriente se trasladará a la salida del rectificador, es decir que i₁ = v₁/R₄. Si en cambio v₁ < 0, el transistor Q_R conduce, circulando por su primer emisor (el "maestro") una corriente - v₁/R₃ = - 2v₁/R₄ por ser R₄ = 2R₃. Una corriente igual aparece en el segundo emisor (el "esclavo"). Mientras tanto, por R₄ sigue circulando v₁/R₄, de modo que la suma de ambas corrientes da - v₁/R₄, la cual se traslada a la salida del bloque. Resumiendo, encontramos que

.     (3)

En todos los casos, la realimentación negativa requerida para que el terminal inversor de A₂ esté a un potencial virtual de 0 V es proporcionada por los transistores Q₁ y Q₂.

Para el análisis del bloque cuadrador/divisor es conveniente utilizar el modelo simplificado de Ebers y Moll para los transistores, el cual es razonablemente válido ya que todos los transistores están funcionando con sus junturas colector-base prácticamente en 0 V (el seguidor A₃ estabiliza el punto de operación del colector de Q₃). Tenemos, entonces, que las corrientes de colector de los transistores Q₁ y Q₂ se relacionan con sus tensiones de las junturas base-emisor respectivas por medio de

,

,

donde I_s es igual para todos los transistores debido a que están integrados al mismo tiempo y tienen igual geometría. Dado que i₁ = i₂ (relación válida aún sin despreciar la corriente de base) resulta, multiplicando miembro a miembro,

.

Para los transistores Q₃ y Q₄ cabe un razonamiento similar (excepto en lo referido a la igualdad de las corrientes de colector), llegándose a

.

Por simple inspección del circuito, vemos que la suma de las tensiones base emisor es la misma en ambos pares de transistores, de manera que

,

y entonces

,     (4)

con lo cual queda probado que el bloque se comporta como un cuadrador-divisor. Ahora bien, ¿qué es lo que diferencia i₃ de i₄? Si la tensión de entrada fuera constante, i₁ también lo sería, y en ese caso por "efecto dominó" serían todas las corrientes constantes. Por el capacitor C_prom no circularía corriente, y entonces i₃ = i₅ = i₄. Pero si i₁ es variable, y su frecuencia verifica

,     (5)

entonces la tensión del capacitor C_prom será aproximadamente constante, por lo tanto i₅ e i₃ también serán aproximadamente constantes, de manera que i₄ debe ser variable. Resulta que i₅ constituye el valor medio o valor de continua de i₄, y por lo tanto i₃ también es el valor medio de i₄. Entonces

,

de donde

.

Entonces

(6)

La corriente de salida, que se obtiene por el terminal 8 en caso de desconectarse R₂ o por el terminal 9 en caso de dejar flotante el terminal 8, es el doble de i₃, es decir, el doble de I_{1 ef}. Resulta, por último, que

.     (7)

Este circuito integrado posee la interesante característica de proveer además una salida en dB, en el terminal 5, es decir en el emisor del transistor Q_dB, para lo cual debe introducirse en este terminal una corriente constante I_REF. Para verlo, tengamos en cuenta que

.

Aplicando nuevamente el modelo de Ebers y Moll, resulta

y entonces

.     (8)

Vemos que la salida no depende de I_s, por la ya mencionada igualdad de los transistores utilizados. Esto elimina una importante fuente potencial de derivas térmicas. Subsiste, sin embargo, la variación con la temperatura de la tensión térmica V_T, aunque el error a temperatura ambiente es de tan sólo un 0,34 %/ºC. En aplicaciones en las cuales se requiera una gran estabilidad térmica deberá introducirse algún circuito accesorio de compensación de temperatura.

Si se elige I_REF de modo que R₄ I_REF = 1 V, la salida V₅ resulta ser proporcional al nivel de tensión expresado en dBV (decibeles referidos a 1V), siendo la constante de proporcionalidad (para una temperatura de 25 ºC)

.     (9)

Este circuito integrado es capaz de manejar rangos dinámicos del orden de 60 dB, lo cual implica una tensión máxima de -180 mV en la salida proporcional al nivel de tensión.

3. RESPUESTA DINÁMICA

Es interesante enfocar con algo más de detenimiento el problema de la respuesta dinámica de este conversor de valor eficaz en continua. Existen tres aspectos importantes a analizar: el error en corriente continua, el ripple, y el tiempo de establecimiento.

En primer lugar debe aclararse que en lugar de un integrador puro que integra durante un tiempo T, se tiene un filtro pasabajos RC formado por R₁ y C_prom, cuya respuesta temporal para una señal cualquiera es

,     (10)

donde t = R₁ C_prom, siendo esta expresión válida si x(t) = 0 para t < 0, El segundo miembro se conoce como promedio temporal con ponderación exponencial, o simplemente promedio temporal exponencial. Este promedio se comporta como una especie de "memoria local" que se aproxima bastante a la idea original de realizar un promedio extendido a un tiempo T. En este caso, la constante de tiempo t cumple el papel que en el caso ideal cumple T.

En el caso de una señal de prueba senoidal de frecuencia angular w = 2p f

,     (11)

el estudio se efectúa más fácilmente por medio del análisis del régimen permanente. Para ello tengamos en cuenta que la corriente i₁ se calcula como

,

de donde

.     (12)

Si i₃ fuera estrictamente constante e igual a I_{1 ef}, aplicando la ecuación (4) se obtendría

.     (13)

Pero i₃ es en realidad el resultado de hacer atravesar i₄ por el pasabajos formado por R₁ y C_prom, y por consiguiente tendrá una componente residual de corriente alterna. Debido a la no linealidad, dicha componente de alterna conduce a un error en la componente de continua de i₄ (que es la misma que la componente de continua de i₃). Por consiguiente, será mejor representar a i₄ teniendo en cuenta de antemano dicho error, es decir

.     (14)

Aplicando las expresiones del régimen permanente de la salida del filtro pasabajos, obtenidas de su función transferencia

,     (15)

resulta

,     (16)

donde

.     (17)

Reemplazando (12) y (16) en la ecuación (4) se obtiene, entonces,

.     (18)

Si w >> 2R₁ C_prom, podemos suponer que tanto e como la componente de alterna del denominador son mucho menores que la unidad, y entonces vale la aproximación

(que se verifica cuando x << 1), de donde

.     (19)

Operando sobre esta aproximación, y despreciando todas las componentes de corriente alterna que disminuyen con la frecuencia, resulta

,     (20)

e igualando el término constante con el término constante correspondiente a la ecuación (14),

,

de donde, finalmente,

.     (21)

Aproximando a 1 el coeficiente del término cosenoidal, la corriente i₄ puede aproximarse, entonces, por

,     (22)

Por último, de (16) y (21), i₃ resulta ser, aproximadamente,

.     (23)

Esto muestra que para frecuencias altas el error en continua disminuye cuadráticamente con el aumento de la frecuencia o del capacitor de promediación, y en cambio el error de alterna (ripple) disminuye sólo directamente con dicho aumento. Por lo general el error en continua es relativamente pequeño y se puede despreciar.

El ripple no es tan pequeño, y esto podría ocasionar problemas en los sistemas de adquisición de datos con un conversor analógico digital que recibe directamente la salida de valor eficaz. Dicho ripple podría reducirse aumentando C_prom, pero según veremos esto incrementa el tiempo de establecimiento (o tiempo de respuesta). Una mejor solución consiste en utilizar un filtro activo de segundo orden a la salida, como se muestra en la figura 4. El filtro sugerido es una célula pasabajos de Sallen - Key, cuya función de transferencia es

.     (24)

La frecuencia superior de corte de este filtro debe ubicarse por debajo de la frecuencia mínima de operación. Si se trata de la banda de audio, por ejemplo, debería estar bien por debajo de los 20 Hz.

El último parámetro de interés dentro de la respuesta dinámica es el tiempo de establecimiento o tiempo de respuesta, que se define como el tiempo t_s que demora la salida en acercarse al valor final con un error inferior al 1%. Para calcularlo podemos suponer un escalón de tensión a la entrada. Inicialmente el capacitor C_prom está descargado, por lo cual i₅ = 0. La corriente de salida será, por consiguiente, nula. A partir de allí el capacitor se irá cargando exponencialmente con una constante de tiempo R₁C_prom, y la corriente de salida se incrementará también exponencialmente. El tiempo de establecimiento se tendrá cuando sea

.

Resulta

.      (25)

Vemos que un aumento del capacitor de promediación implica un aumento del tiempo de respuesta.

Es interesante señalar, asimismo, que el tiempo de respuesta también varía con el nivel de la señal de entrada. En efecto, para señales muy pequeñas (menores de 100 mV), el retardo introducido por el capacitor C_prom pasa a tener menor importancia frente al retardo introducido por el resto del circuito, particularmente por el bloque central. En efecto, al trabajar con bajos niveles, aumentan las constantes de tiempo de los transistores lo cual implica un mayor retardo entre el instante en que se produce un escalón en la entrada y la respuesta. El resultado es que para tensiones de entrada del orden de 5 mV el tiempo de respuesta total puede ser 10 veces mayor que el previsto por la ecuación (25).

4. RESPUESTA EN FRECUENCIA

La respuesta dinámica, que estudiamos en la sección anterior, describe el comportamiento del circuito ante variaciones del valor eficaz de la entrada. La respuesta en frecuencia, en cambio, se refiere al rango de frecuencias de dicha señal de entrada dentro del cual el dispositivo proporciona correctamente el valor eficaz (con un margen de error dado). Si bien un análisis exhaustivo de la respuesta en frecuencia del AD536 está fuera del propósito introductorio del presente trabajo, resulta interesante destacar algunas peculiaridades que lo distinguen de otros dispositivos, y que se originan en el hecho de que este circuito integrado utiliza transistores configurados como amplificadores logarítmicos.

En un amplificador lineal a transistores (en clase A) la respuesta en frecuencia prácticamente no depende del nivel de la señal, debido a que la corriente de polarización de los transistores se mantiene constante, manteniéndose también constantes, en consecuencia, los parámetros que determinan la respuesta frecuencial.

Los amplificadores logarítmicos, por el contrario, basan su funcionamiento precisamente en variaciones muy importantes de la corriente de polarización del colector. En efecto, dicha corriente varía directamente con el nivel de la señal, lo cual permite reducir la ganancia para grandes niveles, como es requerido para una respuesta logarítmica.

Estas variaciones de la corriente de colector implican variaciones substanciales de los parámetros que determinan la respuesta en frecuencia (particularmente la r_b’e del modelo híbrido p del transistor), por lo cual la respuesta en frecuencia depende fuertemente del nivel de la señal. El ancho de banda crece, por lo tanto, con el nivel de la señal. Así, para 10 mV el ancho de banda al 1% es de 8 kHz, mientras que para 1 V alcanza los 100 kHz.

REFERENCIAS

1. Analog Devices. "Applications Reference Manual". Norwood, MA, USA, 1993.

2. Analog Devices. "Designer’s Reference Manual". Norwood, MA, USA, 1996.